Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 be3tvb1

be3tvb1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-09-2012 - 21:21

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-09-2012 - 23:06

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
$$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}\geq \frac{(x+y)^6}{16}\,\,\,\,\forall x,y>0$$
Thật vậy nó tương đương:
$$16(x^4+y^4)^3-(x^6+y^6)(x+y)^6\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^2(10x^{10}+15x^9y+18x^8y^2-8x^7y^3-x^6y^4-x^4y^6-8y^7x^3+18y^8x^2+15y^9x+10y^{10})\geq 0$$
(Luôn đúng do đống bùi nhùi tr0ng ngoặc luôn dương the0 $AM-GM$)
Vậy áp dụng bổ đề vào bài toán ta có:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq \frac{(x+y)^6+(y+z)^6+(z+x)^6}{16}$
$$\geq \frac{2^6.(x^6+y^6+z^6)}{16}\geq \frac{2^6.3.x^2y^2z^2}{2^4}=12$$
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 27-09-2012 - 23:06

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-09-2012 - 23:57

Sao mò được cái bổ đề $\frac{(x^4+y^4)^3}{x^6+y^6}\ge \frac{(x+y)^6}{16}$ vậy :icon10:
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 be3tvb1

be3tvb1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 28-09-2012 - 06:38

Xin hỏi còn cách nào khác không ạ. Chứ làm sao mà nghĩ ra cái bổ đề dk.

#5 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2012 - 21:34

Xin hỏi còn cách nào khác không ạ. Chứ làm sao mà nghĩ ra cái bổ đề dk.

:)) Sr bạn tối qua mình bùn ngủ quá nên nghĩ đại ra cái bổ đề rồi làm liều ăn nhiều.May mà nó đúng :P
Bạn có thể tham khảo lời giải 2 của mình.Khá là tự nhiên :)
Lời giải:
Để ý $x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)$ và áp dụng $AM-GM$ thì ta có:
$$\frac{(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)}=\frac{2x^2y^2(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)[4x^2y^2.(x^4+y^4-x^2y^2)]}$$
$$\geq \frac{x^2y^2.4(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)(x^4+y^4)^2}\geq 2x^2y^2(x^2+y^2)$$
Tương tự và cộng lại thì ta cần chứng minh:
$$x^2y^2(x^2+y^2)+y^2z^2(y^2+z^2)+z^2x^2(z^2+x^2)\geq 6$$
Và điều này luôn đúng khi ta $AM-GM$ 6 số,kết hợp cùng giả thiết $xyz=1$
Vậy ta có điều phải chứng minh ;)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-09-2012 - 21:36

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#6 tuannd2009

tuannd2009

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 28-09-2012 - 23:34

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
$$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}\geq \frac{(x+y)^6}{16}\,\,\,\,\forall x,y>0$
Anh có thể nói rõ hơn về phương hướng để chứng minh cái bổ đề trâu bò này không ạ???? Quá khó so vs khả năng quy định, nhưng theo em cái gì nó cũng pair có phương pháp của nó nên mong anh chỉ dạy thêm ạ!
-----------------------------
Mình đã nói ở trên là đoán thôi bạn ạ! Nhưng mình chắc chắn những bđt thế này phân tích ra có nhân tử $(x-y)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-09-2012 - 13:27


#7 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-10-2012 - 22:49

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$

Bài này có thể giải như sau
Đặt $x^2=a;y^2=b;z^2=c;abc=1$ BĐT đã cho $$\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2)^3}{a^3+b^3}+\frac{(b^2+c^2)^3}{b^3+c^3}+\frac{(a^2+c^2)^3}{c^3+a^3}\ge 12$$
Áp dụng AM-GM 4 số
$$(a^2+b^2)^3=(a^6+a^4b^2+a^4b^2+a^4b^2)+(b^6+a^2b^4+a^2b^4+a^2b^4)\geq 4\sqrt[4]{a^6b^6}(a^3+b^3)$$
Thiết lập tương tự dễ dàng suy ra đpcm :)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#8 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 12-10-2012 - 22:20

nghĩ đc cái bổ đề đó là bá đạo lắm àk nhak




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh