Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
#1
Đã gửi 27-09-2012 - 21:21
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$
- Mai Duc Khai, WhjteShadow và BoBoiBoy thích
#2
Đã gửi 27-09-2012 - 23:06
Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$
Bổ đề:
$$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}\geq \frac{(x+y)^6}{16}\,\,\,\,\forall x,y>0$$
Thật vậy nó tương đương:
$$16(x^4+y^4)^3-(x^6+y^6)(x+y)^6\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^2(10x^{10}+15x^9y+18x^8y^2-8x^7y^3-x^6y^4-x^4y^6-8y^7x^3+18y^8x^2+15y^9x+10y^{10})\geq 0$$
(Luôn đúng do đống bùi nhùi tr0ng ngoặc luôn dương the0 $AM-GM$)
Vậy áp dụng bổ đề vào bài toán ta có:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq \frac{(x+y)^6+(y+z)^6+(z+x)^6}{16}$
$$\geq \frac{2^6.(x^6+y^6+z^6)}{16}\geq \frac{2^6.3.x^2y^2z^2}{2^4}=12$$
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=1$ $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 27-09-2012 - 23:06
- Mai Duc Khai, BlackSelena, ducthinh26032011 và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-09-2012 - 23:57
- ducthinh26032011, robin997, BoBoiBoy và 1 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#4
Đã gửi 28-09-2012 - 06:38
#5
Đã gửi 28-09-2012 - 21:34
Sr bạn tối qua mình bùn ngủ quá nên nghĩ đại ra cái bổ đề rồi làm liều ăn nhiều.May mà nó đúngXin hỏi còn cách nào khác không ạ. Chứ làm sao mà nghĩ ra cái bổ đề dk.
Bạn có thể tham khảo lời giải 2 của mình.Khá là tự nhiên
Lời giải:
Để ý $x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)$ và áp dụng $AM-GM$ thì ta có:
$$\frac{(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)}=\frac{2x^2y^2(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)[4x^2y^2.(x^4+y^4-x^2y^2)]}$$
$$\geq \frac{x^2y^2.4(x^4+y^4)^3}{(x^2+y^2)(x^4+y^4)^2}\geq 2x^2y^2(x^2+y^2)$$
Tương tự và cộng lại thì ta cần chứng minh:
$$x^2y^2(x^2+y^2)+y^2z^2(y^2+z^2)+z^2x^2(z^2+x^2)\geq 6$$
Và điều này luôn đúng khi ta $AM-GM$ 6 số,kết hợp cùng giả thiết $xyz=1$
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-09-2012 - 21:36
- HÀ QUỐC ĐẠT, Mai Duc Khai, BlackSelena và 3 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 28-09-2012 - 23:34
Bổ đề:
$$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}\geq \frac{(x+y)^6}{16}\,\,\,\,\forall x,y>0$
Anh có thể nói rõ hơn về phương hướng để chứng minh cái bổ đề trâu bò này không ạ???? Quá khó so vs khả năng quy định, nhưng theo em cái gì nó cũng pair có phương pháp của nó nên mong anh chỉ dạy thêm ạ!
-----------------------------
Mình đã nói ở trên là đoán thôi bạn ạ! Nhưng mình chắc chắn những bđt thế này phân tích ra có nhân tử $(x-y)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-09-2012 - 13:27
- NguyThang khtn yêu thích
#7
Đã gửi 01-10-2012 - 22:49
Bài này có thể giải như sauCho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$
Đặt $x^2=a;y^2=b;z^2=c;abc=1$ BĐT đã cho $$\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2)^3}{a^3+b^3}+\frac{(b^2+c^2)^3}{b^3+c^3}+\frac{(a^2+c^2)^3}{c^3+a^3}\ge 12$$
Áp dụng AM-GM 4 số
$$(a^2+b^2)^3=(a^6+a^4b^2+a^4b^2+a^4b^2)+(b^6+a^2b^4+a^2b^4+a^2b^4)\geq 4\sqrt[4]{a^6b^6}(a^3+b^3)$$
Thiết lập tương tự dễ dàng suy ra đpcm
- HÀ QUỐC ĐẠT, Mai Duc Khai và WhjteShadow thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#8
Đã gửi 12-10-2012 - 22:20
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh