Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* - - - - 1 Bình chọn

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

bđt 4.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 27-09-2012 - 21:28

Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé :D
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-11-2018 - 22:49

Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé :D
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

Trước hết ta chứng minh $\frac{1}{x_1^2+2}+\frac{1}{x_2^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}$                               (1)

(1) $\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+4}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}\Leftrightarrow \frac{2-\frac{1}{2}x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}\geqslant \frac{1}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}$

$\Leftrightarrow 8x_1x_2-x_1^4x_2^2-x_1^2x_2^4-2x_1^3x_2^3-4x_1^2x_2^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow x_1x_2\left \{ 8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ] \right \}\geqslant 0$                                                                          (2)

Mà $x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )^2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant 1^2.(2^2+4)=8$

Do đó $8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\geqslant 0$

Vậy bất đẳng thức (2) đúng $\Leftrightarrow$ bất đẳng thức (1) đúng.

Dấu bằng xảy ra khi "$x_1=x_2=1$" HOẶC "ít nhất 1 trong 2 số $x_1,x_2$ bằng $0$"

 

Từ (1) suy ra $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}+...+\frac{1}{x_n^2+2}$           (3)

Tương tự như trên, ta chứng minh được :

$\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}$                                                   (4)

$\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2+2}$                                 (5)

...............................................

...............................................

Từ (3),(4),(5),..., ta có :

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}}_{n-1\ so\ hang}+\frac{1}{(x_1+x_2+...+x_n)^2+2}=\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2^2+2}=\frac{3n-2}{6}$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi trong các số $x_1,x_2,...,x_n$ "có $2$ số bằng $1$" HOẶC "có n-1 số bằng $0$"


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-11-2018 - 11:07

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt 4.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh