Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

[chanhquocnghiem]

Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

Trước hết ta chứng minh $\frac{1}{x_1^2+2}+\frac{1}{x_2^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}$                               (1)

(1) $\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+4}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}\Leftrightarrow \frac{2-\frac{1}{2}x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}\geqslant \frac{1}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}$

$\Leftrightarrow 8x_1x_2-x_1^4x_2^2-x_1^2x_2^4-2x_1^3x_2^3-4x_1^2x_2^2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow x_1x_2\left \{ 8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ] \right \}\geqslant 0$                                                                          (2)

Mà $x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )^2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant 1^2.(2^2+4)=8$

Do đó $8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\geqslant 0$

Vậy bất đẳng thức (2) đúng $\Leftrightarrow$ bất đẳng thức (1) đúng.

Dấu bằng xảy ra khi "$x_1=x_2=1$" HOẶC "ít nhất 1 trong 2 số $x_1,x_2$ bằng $0$"

 

Từ (1) suy ra $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}+...+\frac{1}{x_n^2+2}$           (3)

Tương tự như trên, ta chứng minh được :

$\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}$                                                   (4)

$\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2+2}$                                 (5)

...............................................

...............................................

Từ (3),(4),(5),..., ta có :

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}}_{n-1\ so\ hang}+\frac{1}{(x_1+x_2+...+x_n)^2+2}=\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2^2+2}=\frac{3n-2}{6}$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi trong các số $x_1,x_2,...,x_n$ "có $2$ số bằng $1$" HOẶC "có n-1 số bằng $0$"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-11-2018 - 11:07