$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
#1
Đã gửi 27-09-2012 - 21:28
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
- Tham Lang, WhjteShadow, xuanhoan23112002 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 26-11-2018 - 22:49
Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
Trước hết ta chứng minh $\frac{1}{x_1^2+2}+\frac{1}{x_2^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}$ (1)
(1) $\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+4}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}\Leftrightarrow \frac{2-\frac{1}{2}x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}\geqslant \frac{1}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}$
$\Leftrightarrow 8x_1x_2-x_1^4x_2^2-x_1^2x_2^4-2x_1^3x_2^3-4x_1^2x_2^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow x_1x_2\left \{ 8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ] \right \}\geqslant 0$ (2)
Mà $x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )^2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant 1^2.(2^2+4)=8$
Do đó $8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\geqslant 0$
Vậy bất đẳng thức (2) đúng $\Leftrightarrow$ bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu bằng xảy ra khi "$x_1=x_2=1$" HOẶC "ít nhất 1 trong 2 số $x_1,x_2$ bằng $0$"
Từ (1) suy ra $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}+...+\frac{1}{x_n^2+2}$ (3)
Tương tự như trên, ta chứng minh được :
$\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}$ (4)
$\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2+2}$ (5)
...............................................
...............................................
Từ (3),(4),(5),..., ta có :
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}}_{n-1\ so\ hang}+\frac{1}{(x_1+x_2+...+x_n)^2+2}=\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2^2+2}=\frac{3n-2}{6}$
Dấu bằng chỉ xảy ra khi trong các số $x_1,x_2,...,x_n$ "có $2$ số bằng $1$" HOẶC "có n-1 số bằng $0$"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-11-2018 - 11:07
- perfectstrong và Ispectorgadget thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt 4.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n-1+x_{k}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+S-x_{k}}$$Bắt đầu bởi dark templar, 08-09-2012 bđt 4. |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh