$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
#1
Posted 27-09-2012 - 21:28
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
- Tham Lang, WhjteShadow, xuanhoan23112002 and 1 other like this
#2
Posted 26-11-2018 - 22:49
Bài này cũng khá khó và lạ,các bạn thử sức nhé
Bài toán: Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
Trước hết ta chứng minh $\frac{1}{x_1^2+2}+\frac{1}{x_2^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}$ (1)
(1) $\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2+4}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}\Leftrightarrow \frac{2-\frac{1}{2}x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+2(x_1^2+x_2^2)+4}\geqslant \frac{1}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}$
$\Leftrightarrow 8x_1x_2-x_1^4x_2^2-x_1^2x_2^4-2x_1^3x_2^3-4x_1^2x_2^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow x_1x_2\left \{ 8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ] \right \}\geqslant 0$ (2)
Mà $x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )^2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\leqslant 1^2.(2^2+4)=8$
Do đó $8-x_1x_2\left [ (x_1+x_2)^2+4 \right ]\geqslant 0$
Vậy bất đẳng thức (2) đúng $\Leftrightarrow$ bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu bằng xảy ra khi "$x_1=x_2=1$" HOẶC "ít nhất 1 trong 2 số $x_1,x_2$ bằng $0$"
Từ (1) suy ra $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}+...+\frac{1}{x_n^2+2}$ (3)
Tương tự như trên, ta chứng minh được :
$\frac{1}{(x_1+x_2)^2+2}+\frac{1}{x_3^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}$ (4)
$\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2+2}+\frac{1}{x_4^2+2}\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2+2}$ (5)
...............................................
...............................................
Từ (3),(4),(5),..., ta có :
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k^2+2}\geqslant \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}}_{n-1\ so\ hang}+\frac{1}{(x_1+x_2+...+x_n)^2+2}=\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2^2+2}=\frac{3n-2}{6}$
Dấu bằng chỉ xảy ra khi trong các số $x_1,x_2,...,x_n$ "có $2$ số bằng $1$" HOẶC "có n-1 số bằng $0$"
Edited by chanhquocnghiem, 27-11-2018 - 11:07.
- perfectstrong and Ispectorgadget like this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Also tagged with one or more of these keywords: bđt 4.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n-1+x_{k}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+S-x_{k}}$$Started by dark templar, 08-09-2012 bđt 4. |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users