Lời giải của toán thủ ConanTM:
Hệ PT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=-1(*_1) & \\ x_{1}\left ( 1 + x_{1}
\right )=1 (*_2)& \\ \left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( 1+x_{1}+x_{2} \right )=1(*_3) & \\
.......... & \\ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2011} \right )\left ( 1+x_{1}+x_{2}
+x_{3}+...+x_{2011} \right )=1 (*_{2012})& \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2012}} = - 1 \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right. \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right. \\
... \\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2011}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2011}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right.(**) \\
\end{array} \right.$
Từ $(*_1)$ và (**) ta suy ra: $\left[ \begin{array}{l}
{x_{2012}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
{x_{2012}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\
\end{array} \right.$
Do đó:
$\left[ \begin{array}{l}
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2},{x_3},...,{x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
và: $\left[ \begin{array}{l}
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0; - \sqrt 5 } \right\} \\
{x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}} \in \left\{ {0;\sqrt 5 } \right\} \\
\end{array} \right.$
Do vậy ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: ${x_1} \ne {x_{2012}}$ hay ${x_1} + {x_{2012}}=-1$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=0$
Trong trường hợp này hệ PT có 2 nghiệm là:
$({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) \in \left\{ {(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})} \right\}$
- Trường hợp 2: ${x_1} = {x_{2012}}=\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=-\sqrt 5$
Trong trường hợp này hệ PT có 2010 nghiệm là:
${({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) = (\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})}$ với ${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$
- Trường hợp 3: ${x_1} = {x_{2012}}=\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}$
=> ${x_2} + {x_3} + ... + {x_{2011}}=\sqrt 5$
Trong trường hợp này hệ PT có 2010 nghiệm là:
${({x_1},{x_2},...,{x_{2012}}) = (\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,
{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})}$ với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{
{2,3,4,...,2011} \right\}$
Kết luận: Hệ PT đã cho có 4022 nghiệm $({x_1},{x_2},...,{x_{2012}})$ là:
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2});(\frac{{ - 1 - \sqrt 5
}}{2},0,0,...,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$;
$(\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_k},0,...,0,0,\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2})$ với
${x_k} = - \sqrt 5 ;k \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$
và $(\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0,0,...,0,{x_m},0,...,0,0,\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2})$
với ${x_m} = \sqrt 5 ;m \in \left\{ {2,3,4,...,2011} \right\}$
Thử lại thấy đúng.
====
Bạn gửi lên rất nhiều mở rộng nhưng đa số là thay đổi điều kiện của $m$ và $n$ lại mà thôi nên mình chấp nhận 1 mở rộng nhưng có một thắc mắc của bạn gửi lên khá là hay nên mình xem như là một mở rộng
.
====Điểm bài làm: 10.Tổng điểm: 35+3.10+2.10+0=85
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 22:15
Ghi lại điểm