Chủ đề này có 4 trả lời

[mylove06]

Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$

[duypro09]

Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333

[tim1nuathatlac]

Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$

Bài này nhẹ mà
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$

Đặt $a=\frac{x}{3};b=\frac{y}{3};c=\frac{z}{3}$

$Q.e.D$ trở thành cm $\left ( x^{2} +9\right )\left ( y^{2}+9 \right )\left ( z^{2}+9 \right )\geq 10^{3}$ vs $x+y+z=3$

$\Leftrightarrow 81\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+9\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 271$

$\Leftrightarrow 81\left ( 9-2q \right )+9\left ( q^{2}-6r \right )+r^{2}\geq 271$

$\Leftrightarrow 729+9\left ( q^{2}-6q+9 \right )+\left ( r^{2}-2r+1 \right )-\left ( 108q+52r+81+1 \right )\geq 271$ (*)

Sd Am-Gm thì $q\leq 3$ và $r\leq 1$

$\Rightarrow VP(*)\geq 729-\left ( 81+108.3+52.1+1 \right )+9\left ( q-3 \right )^{2}+\left ( r-1 \right )^{2}\geq 271$

$\Rightarrow Q.e.D$ Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 29-09-2012 - 09:37

[bdtilove]

Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333

Nếu lời giải có trong diễn đàn thì bạn hãy đưa link còn nếu diễn đàn khác thì tốt nhất là không nên bạn nha!! Click vào mà bắt phải đăng kí mới cho xem thì quả thật mình ức chế lắm!!!
Thân!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:39

[bdtilove]

Bài này nhẹ mà
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$

Nhẹ mà làm như bác cũng thành nặng đấy!! Thật ra bài này có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp giảm biến và sau cùng đưa về 1 biến kết hợp khảo sát!! Thật vậy: Giả sử $ c= Min(a,b,c) $ theo đó $ c \in [0,\frac{1}{3} $. Bằng Cauchy-Schwarz ta có:
$ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+a^2)(\frac{8}{9}+b^2+\frac{1}{9}) \ge (\frac{8}{9}+\frac{a}{3}+\frac{b}{3})^2(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1-c}{3})^2(1+c^2) $
bằng việc khảo sát: $ f(c.) $ với $ c \in [0,\frac{1}{3}] $ ta dễ dàng có được $ Minf(c.)=(\frac{10}{9})^3 $ khi $ c=\frac{1}{3} $
Thật ra bước cuối có thể giải quyết bằng khai triển nhưng cứ khảo bằng Maple 16 hay Wolfram cho nó phẻ!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:52