Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geqslant(\frac{10}{9})^{3}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 mylove06

mylove06

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-09-2012 - 00:27

Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$

Cuộc sống vốn không công bằng

Hãy làm quen dần với điều đó.


#2 duypro09

duypro09

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Đã gửi 29-09-2012 - 07:55

Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333

#3 tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lt-vp

Đã gửi 29-09-2012 - 09:31

Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$


Bài này nhẹ mà :lol:
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$

Đặt $a=\frac{x}{3};b=\frac{y}{3};c=\frac{z}{3}$

$Q.e.D$ trở thành cm $\left ( x^{2} +9\right )\left ( y^{2}+9 \right )\left ( z^{2}+9 \right )\geq 10^{3}$ vs $x+y+z=3$

$\Leftrightarrow 81\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+9\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 271$

$\Leftrightarrow 81\left ( 9-2q \right )+9\left ( q^{2}-6r \right )+r^{2}\geq 271$

$\Leftrightarrow 729+9\left ( q^{2}-6q+9 \right )+\left ( r^{2}-2r+1 \right )-\left ( 108q+52r+81+1 \right )\geq 271$ (*)

Sd Am-Gm thì $q\leq 3$ và $r\leq 1$

$\Rightarrow VP(*)\geq 729-\left ( 81+108.3+52.1+1 \right )+9\left ( q-3 \right )^{2}+\left ( r-1 \right )^{2}\geq 271$

$\Rightarrow Q.e.D$ Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 29-09-2012 - 09:37



#4 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-09-2012 - 09:39

Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333

Nếu lời giải có trong diễn đàn thì bạn hãy đưa link còn nếu diễn đàn khác thì tốt nhất là không nên bạn nha!! Click vào mà bắt phải đăng kí mới cho xem thì quả thật mình ức chế lắm!!!
Thân!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:39


#5 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-09-2012 - 09:50

Bài này nhẹ mà :lol:
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$

Nhẹ mà làm như bác cũng thành nặng đấy!! Thật ra bài này có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp giảm biến và sau cùng đưa về 1 biến kết hợp khảo sát!! Thật vậy: Giả sử $ c= Min(a,b,c) $ theo đó $ c \in [0,\frac{1}{3} $. Bằng Cauchy-Schwarz ta có:
$ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+a^2)(\frac{8}{9}+b^2+\frac{1}{9}) \ge (\frac{8}{9}+\frac{a}{3}+\frac{b}{3})^2(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1-c}{3})^2(1+c^2) $
bằng việc khảo sát: $ f(c.) $ với $ c \in [0,\frac{1}{3}] $ ta dễ dàng có được $ Minf(c.)=(\frac{10}{9})^3 $ khi $ c=\frac{1}{3} $
Thật ra bước cuối có thể giải quyết bằng khai triển nhưng cứ khảo bằng Maple 16 hay Wolfram cho nó phẻ!! >:) ~O) ~O)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:52





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh