Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$
$$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geqslant(\frac{10}{9})^{3}$$
Bắt đầu bởi mylove06, 29-09-2012 - 00:27
#1
Đã gửi 29-09-2012 - 00:27
Cuộc sống vốn không công bằng
Hãy làm quen dần với điều đó.
#2
Đã gửi 29-09-2012 - 07:55
Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333
#3
Đã gửi 29-09-2012 - 09:31
Cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và có tổng bằng 1.Chứng minh:
(1+$a$$^{2}$)(1+$b$$^{2}$)(1+$c$$^{2}$)$\geqslant$($\frac{10}{9}$)$^{3}$
Bài này nhẹ mà
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$
Đặt $a=\frac{x}{3};b=\frac{y}{3};c=\frac{z}{3}$
$Q.e.D$ trở thành cm $\left ( x^{2} +9\right )\left ( y^{2}+9 \right )\left ( z^{2}+9 \right )\geq 10^{3}$ vs $x+y+z=3$
$\Leftrightarrow 81\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+9\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 271$
$\Leftrightarrow 81\left ( 9-2q \right )+9\left ( q^{2}-6r \right )+r^{2}\geq 271$
$\Leftrightarrow 729+9\left ( q^{2}-6q+9 \right )+\left ( r^{2}-2r+1 \right )-\left ( 108q+52r+81+1 \right )\geq 271$ (*)
Sd Am-Gm thì $q\leq 3$ và $r\leq 1$
$\Rightarrow VP(*)\geq 729-\left ( 81+108.3+52.1+1 \right )+9\left ( q-3 \right )^{2}+\left ( r-1 \right )^{2}\geq 271$
$\Rightarrow Q.e.D$ Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 29-09-2012 - 09:37
#4
Đã gửi 29-09-2012 - 09:39
Nếu lời giải có trong diễn đàn thì bạn hãy đưa link còn nếu diễn đàn khác thì tốt nhất là không nên bạn nha!! Click vào mà bắt phải đăng kí mới cho xem thì quả thật mình ức chế lắm!!!Đây là bài trong THTT số 420 , bạn có thể tham khảo các lời giải tại đây. Thân!!!
http://toantuoigia.e....php?f=70&t=333
Thân!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:39
- WhjteShadow yêu thích
#5
Đã gửi 29-09-2012 - 09:50
Nhẹ mà làm như bác cũng thành nặng đấy!! Thật ra bài này có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp giảm biến và sau cùng đưa về 1 biến kết hợp khảo sát!! Thật vậy: Giả sử $ c= Min(a,b,c) $ theo đó $ c \in [0,\frac{1}{3} $. Bằng Cauchy-Schwarz ta có:Bài này nhẹ mà
sd phương pháp đổi biến $p,q,r$
$ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1}{9}+a^2)(\frac{8}{9}+b^2+\frac{1}{9}) \ge (\frac{8}{9}+\frac{a}{3}+\frac{b}{3})^2(1+c^2)=(\frac{8}{9}+\frac{1-c}{3})^2(1+c^2) $
bằng việc khảo sát: $ f(c.) $ với $ c \in [0,\frac{1}{3}] $ ta dễ dàng có được $ Minf(c.)=(\frac{10}{9})^3 $ khi $ c=\frac{1}{3} $
Thật ra bước cuối có thể giải quyết bằng khai triển nhưng cứ khảo bằng Maple 16 hay Wolfram cho nó phẻ!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 29-09-2012 - 09:52
- WhjteShadow yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh