Câu 2: Tìm tất cả các hàm số $f:Z_+\mapsto R_+$ sao cho :
$(f(a)+f(b))(f(x)+f(y))=f(ax+by)$
Với mọi $a,b,x,y \in Z_+$ , thỏa mãn $ay=bx$.
Thay $a=b$ và $x=y$ thì ta có: $4f\left ( a \right )f\left ( x \right )=f\left ( 2ax \right )$.
Thay $x=y=1$ và $a=b$ thì suy ra $4f\left ( a \right )f\left ( 1 \right )=f\left ( 2a \right )$.
$\Rightarrow f\left ( 2ax \right )=4f\left ( a \right )f\left ( x \right )=4f\left ( ax \right )f\left ( 1 \right )\\ \Rightarrow f\left ( a \right )f\left ( x \right )=f\left ( ax \right )f\left ( 1 \right )\\ \Rightarrow f^2\left ( a \right )=f\left ( a^2 \right )f\left ( 1 \right )$
Thay $x=a$, $y=b$ thì ta có: $\left ( f\left ( a \right )+f\left ( b \right ) \right )^2=f\left ( a^2+b^2 \right )$.
Ta đặt: $f\left ( 1 \right )=k\Rightarrow f\left ( 2 \right )=4k^2\Rightarrow f\left ( 4 \right )=16k^3$.
Ta có $f\left ( 10 \right )=f\left ( 3^2+1 \right )=4f\left ( 5 \right )f\left ( 1 \right )$.
Suy ra: $\left [ f\left ( 3 \right )+k \right ]^2=4kf\left ( 5 \right )\Rightarrow f\left ( 3 \right )=2\sqrt{f\left ( 5 \right )k}-k$.
Mà\[
f\left( 5 \right) = f\left( {2^2 + 1} \right) \Rightarrow f\left( 5 \right)\left[ {f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right)} \right]^2 = \left( {4k^2 + k} \right)^2
\]
Mặt khác: $f\left ( 3^2+4^2 \right )=f\left ( 5^2 \right )$ nên:
$\left [ f\left ( 3 \right )+f\left ( 4 \right ) \right ]^2=\dfrac{f^2\left ( 5 \right )}{k}\\ \Rightarrow f\left ( 3 \right )+f\left ( 4 \right )=\dfrac{f\left ( 5 \right )}{\sqrt{k}}$
Ta thay $f\left ( 3 \right )$, $f\left ( 4 \right )$, $f\left ( 5 \right )$ bởi các biểu thức theo $k$ và rút gọn ta được: $\left ( \sqrt{k}-1 \right )\left ( 16k^2-1 \right )=0\Leftrightarrow k=1\vee k=\dfrac{1}{4}$.
Nếu $k=1 \Rightarrow f(1)=1; f(2)=2$. Giả sử với mọi $n \leq m, f(n)=n^2$, ta chứng minh $f(m+1)=m^2$.
Nếu $m+1$ chẵn thì $m+1=2p, p<m \Rightarrow f(p)=p^2 \Rightarrow f(m+1)=f(2p)=4f(p)f(1)=4f(p)=4p^2$.
Nếu $m+1$ lẻ thì $m+1=2p+1, p<m \Rightarrow f(p)=p^2, f(p+1)=(p+1)^2$. Ta có:
$f((2p+1)^2+1)=[(f(2p+1)+1]^2=f(4p^2+4p+2)=4f(p^2+(p+1)^2)=4[f(p)+f(p+1)]^2$.
$\Leftrightarrow f(2p+1)=2f(p)+2f(p+1)-1=4p^2+4p+1=(2p+1)^2$.
Vậy nếu $f(1)=1$ thì $f(n)=n^2 \forall n$ nguyên dương.
Tương tự, nếu $f(1)=\frac{1}{4}$ thì quy nạp như trên ta suy ra $f(n)=\frac{1}{4} \forall n$ nguyên dương.
Vậy hàm cần tìm là: $f(n)=n^2$ hoặc $f(n)=\frac{1}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-10-2012 - 17:28