Chủ đề này có 5 trả lời

[yellow]

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\ x_{2}x_{3}x_{4}=x_{2}+x_{3}+x_{4}\\ ..........\\ ..........\\ x_{1985}x_{1986}x_{1987}=x_{1985}+x_{1986}+x_{1987}\\ x_{1986}x_{1987}x_{1}=x_{1986}+x_{1987}+x_{1}\\ x_{1987}x_{1}x_{2}=x_{1987}+x_{1}+x_{2}\\ \end{matrix}\right.$

[nhancccp]

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} & x_1x_2x_3=x_1+x_2+x_3\\ & x_2x_3x_4=x_2+x_3+x_4\\ & ................\\ & ................\\ &x_{1987}x_{1986}x_1=x_{1986}+x_{1987}+x_1 \\ & x_{1987}x_1x_2=x_{1987}+x_1+x_2 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_2x_3(x_1-x_4)=x_1-x_4\\ & x_3x_4(x_2-x_5)=x_2-x_5\\ & ..............\\ & ..............\\ & x_{1987}x_{1}(x_{1986}-x_2)=x_{1986}-x_2\\ & x_1x_2(x_{1987}-x_3)=x_{1987}-x_3 \end{matrix}\right.$

Xét $x_1= x_4;x_2= x_5;...:x_{1986}= x_2;x_{1987}= x_3$$\Rightarrow x_1=x_2=x_3=...=x_{1986}=x_{1987}=0$

Xét $x_1\neq x_4;x_2\neq x_5;...;x_{1986}\neq x_2;x_{1987}\neq x_3$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x_1=x_3=...=x_{1985}=x_{1987}(mâu thuẫn)\\ & x_2=x_4=...=x_{1984}=x_{1986}(mâu thuẫn) \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x_1;x_2;x_3,...:x_{1986};x_{1987})=(0;0;0;...;0;0)$

Bài này chắc chắn sẽ có sai sót,mong mọi người chỉ giáo,nhờ mod chỉnh hộ bài giúp em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-07-2023 - 09:45
LaTeX

[perfectstrong]

Xét $x_1= x_4;x_2= x_5;...:x_{1986}= x_2;x_{1987}= x_3$$\Rightarrow x_1=x_2=x_3=...=x_{1986}=x_{1987}=0$

Xét $x_1\neq x_4;x_2\neq x_5;...;x_{1986}\neq x_2;x_{1987}\neq x_3$

Vậy còn TH $x_1 \neq x_4; x_2 = x_5; \ldots;$ thì sao bạn ? Rồi còn:

* $x_1 = x_4; x_2 \neq x_5; \ldots$ ?

* $x_1 = x_4; x_2 = x_5; x_3 \neq x_6; \ldots$ ?

Bạn ngộ nhận ở số lượng TH. Bạn nên bắt đầu bằng $x_1 = x_4$, sau đó chia tiếp từng TH. Xong xuôi rồi mới xét lại $x_1 \neq x_4$, rồi lại chia tiếp TH.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-07-2023 - 09:47

[nhancccp]

Vậy còn TH $x_1 \neq x_4; x_2 = x_5; \ldots;$ thì sao bạn ? Rồi còn:

* $x_1 = x_4; x_2 \neq x_5; \ldots$ ?

* $x_1 = x_4; x_2 = x_5; x_3 \neq x_6; \ldots$ ?

Bạn ngộ nhận ở số lượng TH. Bạn nên bắt đầu bằng $x_1 = x_4$, sau đó chia tiếp từng TH. Xong xuôi rồi mới xét lại $x_1 \neq x_4$, rồi lại chia tiếp TH.

À, hôm qua em quên mất chỉ xét 2 trường hợp.

[nhancccp]

Vậy còn TH $x_1 \neq x_4; x_2 = x_5; \ldots;$ thì sao bạn ? Rồi còn:

* $x_1 = x_4; x_2 \neq x_5; \ldots$ ?

* $x_1 = x_4; x_2 = x_5; x_3 \neq x_6; \ldots$ ?

Bạn ngộ nhận ở số lượng TH. Bạn nên bắt đầu bằng $x_1 = x_4$, sau đó chia tiếp từng TH. Xong xuôi rồi mới xét lại $x_1 \neq x_4$, rồi lại chia tiếp TH.

Em nhẩm được các nghiệm $x_1=1;x_2=2;x_3=3;x_4=1;x_5=2;x_6=3;...;x_{1985}=1;x_{1986}=2;x_{1987}=3$ và nghiệm  $(x_1;x_2;x_3;...;x_{1985};x_{1986};x_{1987})=(x_1;0;-x_1;...;x_1;0;-x_1)$ với $x_1=-x_3=a$(a là số thực bất kì) và $x_2=0$

Em nghĩ cả buổi không ra,chỉ nhẩm được nghiệm,ai có lời giải hoàn chỉnh thì sửa giúp em với.

Mới phát hiện đã nhẩm sai nghiệm vì khi đó nghiệm sẽ có vòng lặp 3 mà 1987 không chia hết cho 3 !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 20-07-2023 - 21:37

[Moon Loves Math]

Bạn thử chỉ ra TH $x_{3k}\neq x_{3k+3}$ là không thể xảy ra.

Thật vậy, lấy 2 vế của pt(2) trừ cho pt(1):

$x_2x_3\left ( x_4-x_1 \right )=x_4-x_1\\ \Leftrightarrow \left ( x_4-x_1 \right )\left ( x_2x_3-1 \right )=0\\ \Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} x_4=x_1 \\ x_2x_3=1 \end{array} \right . \end{align*}$

Nếu như $x_2x_3=1$, thế vào pt(1), ta có: 

$x_1=x_1+x_2+x_3\Rightarrow x_2+x_3=0$

Suy ra $x_2$ và $x_3$ là 2 nghiệm của pt: $t^2-0t+1=0$.

Vì pt vô nghiệm thực, nên TH này không thể xảy ra.

Vậy $x_1=x_4$. Lập luận tương tự, ta suy ra: $\left\{\begin{matrix} x_1=x_4=\cdots=x_{1987} \\ x_2=x_5=\cdots=x_{1985} \\ x_3=x_6=\cdots=x_{1986} \end{matrix} \right.$.

Mà $x_{1985}=x_1$, $x_{1986}=x_2$, $x_{1987}=x_3$ (làm tương tự như ý trên).

Nên ta suy ra: $x_1=x_2=\cdots=x_{1987}$

Thế vào pt(1), ta có: $x_1^3=3x_1\Rightarrow\begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} x_1 = 0 \\ x_1 = \sqrt{3} \end{array} \right . \end{align*}$

Vậy hệ đã cho có hai bộ nghiệm là: $\displaystyle (x_1;x_2;x_3,...:x_{1986};x_{1987})=(0;0;0;...;0;0)$ hoặc $\displaystyle (x_1;x_2;x_3,...:x_{1986};x_{1987})=(\sqrt{3};\sqrt{3};\sqrt{3};...;\sqrt{3};\sqrt{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Moon Loves Math: 21-07-2023 - 22:08