Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-10-2012 - 21:09
$AG \perp OG$
Bắt đầu bởi nhatleola96, 02-10-2012 - 20:51
#1
Đã gửi 02-10-2012 - 20:51
nhatleola96
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
Cho tam giác ABC thoa mãn $a^{2}=4ScotA$ ,trong đó BC=a và S là diện tích của tam giác.gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường thẳng AG va OG vuông góc với nhau
#2
Đã gửi 03-10-2012 - 21:23
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5003 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Đặt $BA=c;CA=b$.
Ta có:
\[
\begin{array}{l}
AG = \frac{2}{3}AM \\
\Rightarrow AG^2 = \frac{4}{9}AM^2 = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{4} = \frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{9} \\
OG^2 = R^2 - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} \\
AO^2 = R^2 \\
\cot A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{4S}} \Rightarrow 4S\cot A = b^2 + c^2 - a^2 \\
\end{array}
\]
Xét:
\[
\begin{array}{rcl}
AG \bot OG &\Leftrightarrow&AG^2 + OG^2 = AO^2 \\
&\Leftrightarrow&\frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{9} + R^2 - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} = R^2 \\
&\Leftrightarrow& 2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 = a^2 + b^2 + c^2 \\
&\Leftrightarrow& a^2 = b^2 + c^2 - a^2 \\
&\Leftrightarrow& a^2 = 4S\cot A \\
\end{array}
\]
Đặt $BA=c;CA=b$.
Ta có:
\[
\begin{array}{l}
AG = \frac{2}{3}AM \\
\Rightarrow AG^2 = \frac{4}{9}AM^2 = \frac{4}{9}.\frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{4} = \frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{9} \\
OG^2 = R^2 - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} \\
AO^2 = R^2 \\
\cot A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{4S}} \Rightarrow 4S\cot A = b^2 + c^2 - a^2 \\
\end{array}
\]
Xét:
\[
\begin{array}{rcl}
AG \bot OG &\Leftrightarrow&AG^2 + OG^2 = AO^2 \\
&\Leftrightarrow&\frac{{2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 }}{9} + R^2 - \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{9} = R^2 \\
&\Leftrightarrow& 2\left( {b^2 + c^2 } \right) - a^2 = a^2 + b^2 + c^2 \\
&\Leftrightarrow& a^2 = b^2 + c^2 - a^2 \\
&\Leftrightarrow& a^2 = 4S\cot A \\
\end{array}
\]
- BlackSelena và davildark thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 04-10-2012 - 05:23
nhatleola96
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
nhung nguoi ta bao chung minh AG vuong goc og co ma.neu la the nay minh nghi khong chat che
#4
Đã gửi 04-10-2012 - 13:36
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5003 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Bạn nói bài chứng minh trên không chặt chẽ chỗ nào?nhung nguoi ta bao chung minh AG vuong goc og co ma.neu la the nay minh nghi khong chat che
Mình chứng minh bằng tương đương là rất chặt rồi đấy.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
