3. Cho $a>b>c>d$ là $4$ số nguyên dương t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: $ab+cd$ không là số nguyên tố
Giải như sau:Nhân tiện bài này mình xin giải 1 bài khác gần giống vậy
Phá ngoặc ta được $a(a-d)=b(b+c)$
Đặt $gcd(a,b)=x \Rightarrow a=xm,b=xn,gcd(m,n)=1$ khi ấy $m(a-d)=n(b+c)$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow b+c \vdots m$ và $a-d \vdots n$ khi ấy $b+c=ym,a-d=yn$
Do đó $c=ym-b=ym-xn$ và $d=a-yn=xm-yn$
Suy ra $ab+cd=x^2mn+(ym-xn)(xm-yn)=y(x(m^2+n^2)-ymn)$
Như vậy ta giả sử phản chứng $ab+cd$ là số nguyên tố suy ra $y=1$ hoặc $x(m^2+n^2)-ymn=1$
TH1: $y=1 \Rightarrow c=m-xn,d=xm-n$ mà $c>d \Rightarrow m-xn>xm-n \Rightarrow m+n>x(m+n) \Rightarrow 1>x$ vô lí
TH2: $x(m^2+n^2)-ymn=1$ ta có $a>b \Rightarrow m>n$ và $c>d \Rightarrow ym-xn>xm-yn \Rightarrow y(m+n)>x(m+n) \Rightarrow y>x$ mặt khác $b>c \Rightarrow xn>ym-xn \Rightarrow 2xn>ym$ mà $n<m \Rightarrow 2x>y \Rightarrow y\le 2x-1$
Ta xét $x(m^2+n^2)-ymn=1 \Rightarrow x(m^2+n^2)=ymn+1\le (2x-1)mn+1=2xmn-mn+1$
Ta thấy $x(m^2+n^2)\geq 2xmn$ (cô si) và $-mn+1\le 0 \Rightarrow x(m^2+n^2)\geq 2xmn-mn+1$ dấu $=$ khi $m=n$ không xảy ra dấu $"="$ do $a>b$ nên suy ra $VT>VP$ vô lí
Như vậy $ab+cd$ không phải số nguyên tố $đpcm$$$**********$$3. Cho $a>b>c>d$ là $4$ số nguyên dương t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: $ab+cd$ không là số nguyên tố
Sau đây là lời giải cho bài của bạn
Giải như sau:Phá ngoặc ta được $a^2+c^2-ac=b^2+d^2+bd$
Xét $(ab+cd)(ad+bc)=bd(a^2+c^2-ac)+ac(b^2+d^2+bd)=(ac+bd)(b^2+d^2+bd)$
Ta thấy $a>b>c>d$ nên $ab+cd-(ac+bd)=a(b-c)-d(b-c)=(a-d)(b-c)>0$ $(1)$
Ta lại xét $ac+bd-(ad+bc)=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)>0$ (do $a>b>c>d$) $(2)$
Mà $(ab+cd)(ad+bc)=(ac+bd)(b^2+d^2+bd)$ với $ad+bc<ac+bd \Rightarrow ab+cd>b^2+d^2+bd$
Như vậy nếu $(ab+cd)$ là số nguyên tố thì suy ra $(ac+bd) \vdots (ab+cd)$ hoặc $b^2+d^2+bd \vdots (ab+cd)$ suy ra $ac+bd,b^2+d^2+bd\geq ab+cd$ vô lí với $(1)(2)$
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-10-2012 - 21:05