Chủ đề này có 6 trả lời

[keenlovee97]

1. Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-p+1$ là lập phương $1$ số tự nhiên
2. Tìm $a,b$ là số tự nhiên sao cho $a^4+4b^4$ là số nguyên tố
3. Cho $a>b>c>d$ là $4$ số nguyên dương t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: $ab+cd$ không là số nguyên tố

@nguyenta98: Mod đề nghị bạn ko post bài lặp, gõ latex và nội dung đề cẩn thận, tránh nhầm lẫn sai sót, bài 3 mình đã sửa đề cho bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 02-10-2012 - 22:49

[duongchelsea]

2. Tìm a,b là số tự n hiên sao cho a^4+4b^4 là số nguyên tố

$$a^4+4b^4=(a^4+4a^2b^2+4b^4)-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$$
Để $a^4+4b^4$ là số nguyên tố thì $a^2-2ab+2b^2=1$ hoặc $a^2+2ab+2b^2=1$.
Từng trường hợp tìm ra $a,b$ thay vào để kiểm tra lại.

[nguyenta98]

1. Tìm số nguyên tố p sao cho: $p^2-p+1$ là lập phương 1 số tự nhiên
2. Tìm a,b là số tự n hiên sao cho a^4+4b^4 là số nguyên tố
3. Cho a>b>c>d là 4 số nguyên tố t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: ab+cd là số nguyên tố

Giải như sau:
Bài 1: $p^2-p+1=k^3 \Rightarrow p^2-p=(k-1)(k^2+k+1) \Rightarrow p(p-1)=(k-1)(k^2+k+1)$
TH1: $p=2 \Rightarrow False!$
TH2: $p=3 \Rightarrow False!$
TH3: $p>3$ ta có $gcd(k-1,k^2+k+1)=1,3$ mà $p>3 \Rightarrow gcd(p,3)=1$
Do đó có hai khả năng
$i)$ $k-1 \vdots p \Rightarrow k^2+k+1 \not \vdots p$ (do $gcd(k-1,k^2+k+1)=1$)
Như vậy $k-1\geq p \Rightarrow k\geq p+1 \Rightarrow k^2+k+1>p-1$ suy ra $VP>VT$ loại
$ii)$ $k^2+k+1 \vdots p \Rightarrow k^2+k+1=pr$ suy ra $p-1=(k-1)r \Rightarrow p=kr-r+1$
Do đó $k^2+k+1=(kr-r+1)r=kr^2-(r^2-r)$
Suy ra $k^2-k(r^2-1)+(r^2-r+1)=0$
$\Delta_k=(r^2-1)^2-4(r^2-r+1)=x^2$ (do $k$ nguyên)
$\Rightarrow r^4-6r^2+4r-3=x^2$
Ta thấy $(r^2-4)^4<r^2-6r^2+4r-3\le (r^2-3)^2 \Rightarrow r^2-4<x\le r^2-3$ suy ra $x=r^2-3$ thay vào giải phương trình ra $r=3$ suy ra $k=7$ suy ra $p=19$
Vậy $\boxed{p=19}$

P/S đã sửa, chắc chắn là đúng rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-10-2012 - 20:59

[nguyenta98]

3. Cho $a>b>c>d$ là $4$ số nguyên dương t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: $ab+cd$ không là số nguyên tố

Giải như sau:
Nhân tiện bài này mình xin giải 1 bài khác gần giống vậy
Phá ngoặc ta được $a(a-d)=b(b+c)$
Đặt $gcd(a,b)=x \Rightarrow a=xm,b=xn,gcd(m,n)=1$ khi ấy $m(a-d)=n(b+c)$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow b+c \vdots m$ và $a-d \vdots n$ khi ấy $b+c=ym,a-d=yn$
Do đó $c=ym-b=ym-xn$ và $d=a-yn=xm-yn$
Suy ra $ab+cd=x^2mn+(ym-xn)(xm-yn)=y(x(m^2+n^2)-ymn)$
Như vậy ta giả sử phản chứng $ab+cd$ là số nguyên tố suy ra $y=1$ hoặc $x(m^2+n^2)-ymn=1$
TH1: $y=1 \Rightarrow c=m-xn,d=xm-n$ mà $c>d \Rightarrow m-xn>xm-n \Rightarrow m+n>x(m+n) \Rightarrow 1>x$ vô lí
TH2: $x(m^2+n^2)-ymn=1$ ta có $a>b \Rightarrow m>n$ và $c>d \Rightarrow ym-xn>xm-yn \Rightarrow y(m+n)>x(m+n) \Rightarrow y>x$ mặt khác $b>c \Rightarrow xn>ym-xn \Rightarrow 2xn>ym$ mà $n<m \Rightarrow 2x>y \Rightarrow y\le 2x-1$
Ta xét $x(m^2+n^2)-ymn=1 \Rightarrow x(m^2+n^2)=ymn+1\le (2x-1)mn+1=2xmn-mn+1$
Ta thấy $x(m^2+n^2)\geq 2xmn$ (cô si) và $-mn+1\le 0 \Rightarrow x(m^2+n^2)\geq 2xmn-mn+1$ dấu $=$ khi $m=n$ không xảy ra dấu $"="$ do $a>b$ nên suy ra $VT>VP$ vô lí
Như vậy $ab+cd$ không phải số nguyên tố $đpcm$
$$**********$$

3. Cho $a>b>c>d$ là $4$ số nguyên dương t/m:
$ ac+bd=( b+d+a-c)(b+d-a+c)$
CMR: $ab+cd$ không là số nguyên tố

Sau đây là lời giải cho bài của bạn
Giải như sau:
Phá ngoặc ta được $a^2+c^2-ac=b^2+d^2+bd$
Xét $(ab+cd)(ad+bc)=bd(a^2+c^2-ac)+ac(b^2+d^2+bd)=(ac+bd)(b^2+d^2+bd)$
Ta thấy $a>b>c>d$ nên $ab+cd-(ac+bd)=a(b-c)-d(b-c)=(a-d)(b-c)>0$ $(1)$
Ta lại xét $ac+bd-(ad+bc)=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)>0$ (do $a>b>c>d$) $(2)$
Mà $(ab+cd)(ad+bc)=(ac+bd)(b^2+d^2+bd)$ với $ad+bc<ac+bd \Rightarrow ab+cd>b^2+d^2+bd$
Như vậy nếu $(ab+cd)$ là số nguyên tố thì suy ra $(ac+bd) \vdots (ab+cd)$ hoặc $b^2+d^2+bd \vdots (ab+cd)$ suy ra $ac+bd,b^2+d^2+bd\geq ab+cd$ vô lí với $(1)(2)$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-10-2012 - 21:05

[nghiemthanhbach]

$$a^4+4b^4=(a^4+4a^2b^2+4b^4)-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$$
Để $a^4+4b^4$ là số nguyên tố thì $a^2-2ab+2b^2=1$ hoặc $a^2+2ab+2b^2=1$.
Từng trường hợp tìm ra $a,b$ thay vào để kiểm tra lại.

Ý của bạn tìm ra a;b như thế nào vậy

Mình mới học số học nên không rõ chỗ đó

Bạn chỉ mình được không

Sử dụng đồng dư thức hay biến đổi đẳng thức?

[dotandung]

Ý của bạn tìm ra a;b như thế nào vậy

Mình mới học số học nên không rõ chỗ đó

Bạn chỉ mình được không

Sử dụng đồng dư thức hay biến đổi đẳng thức?

mình nghĩ th1 là cosi ra 1$\geq$b^2 nên ra b

th2 là số tự nhiên nên loại trừ ra 

[taoxiu]

Ý của bạn tìm ra a;b như thế nào vậy

Mình mới học số học nên không rõ chỗ đó

Bạn chỉ mình được không

Sử dụng đồng dư thức hay biến đổi đẳng thức?

chỉ cần đơn giản như thế này $a^2-2ab+2b^2=1=(a-b)^2+b^2$ nên $a-b=1, b=0$ hoặc $a-b=0,b=1$ sau đó bạn thay vào ban đầu để thử lại trường hợp kia tương tự nhé