Chủ đề này có 1 trả lời

[giapvansu]

Hôm nay coi kiểm tra gặp bài PT hàm post lên cho mọi người xem thử
a) Tìm các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ xác định bởi hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} f(2x-1)+g(1-x)=x+1\\ f\left ( \frac{x}{x+1} \right )+2g\left(\frac{1}{2x+2} \right )=3 \end{matrix}\right.$
b) Giải sử $a\neq 0$. Tìm hàm số $f(x)$ thoả mãn: $f(x)+f\left( \frac{a^2}{a-x}\right)=x$
-------------


Lời nhắn từ BQT: Bạn vui lòng đặt tiêu đề đúng theo Thông báo đặt tiêu đề. Xin cảm ơn!

[perfectstrong]

Đây là loại bài tập về lớp phương trình hàm "xoắn" Theo em nhớ thì
Định nghĩa: Hàm $f$ là hàm xoắn bậc $k$ nếu \[
f^k \left( x \right) = x,\forall x
\]
Trong đó $f^m = \underbrace {f \circ f \circ ... \circ f}_m$.
Làm thử câu b:
\[
\begin{array}{l}
f\left( x \right) + f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) = x,\left( 1 \right) \\
x: = \frac{{a^2 }}{{a - x}},\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) + f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - \frac{{a^2 }}{{a - x}}}}} \right) = \frac{{a^2 }}{{a - x}} \\
\Rightarrow f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) + f\left( {\frac{{ax - a^2 }}{x}} \right) = \frac{{a^2 }}{{a - x}},\left( 2 \right) \\
x: = \frac{{ax - a^2 }}{x},\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - \frac{{ax - a^2 }}{x}}}} \right) + f\left( {\frac{{a.\frac{{ax - a^2 }}{x} - a^2 }}{{\frac{{ax - a^2 }}{x}}}} \right) = \frac{{a^2 }}{{a - \frac{{ax - a^2 }}{x}}} \\
\Rightarrow f\left( x \right) + f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) = x,\left( 3 \right) \\
\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) + f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) = x,\left( 4 \right) \\
f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) + f\left( {\frac{{ax - a^2 }}{x}} \right) = \frac{{a^2 }}{{a - x}},\left( 5 \right) \\
\end{array} \right. \\
\left( 4 \right) - \left( 5 \right) \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( {\frac{{ax - a^2 }}{x}} \right) = x - \frac{{a^2 }}{{a - x}},\left( 6 \right) \\
x: = \frac{{ax - a^2 }}{x} \Rightarrow f\left( {\frac{{ax - a^2 }}{x}} \right) - f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) = \frac{{ax - a^2 }}{x} - x,\left( 7 \right) \\
\left( 6 \right) + \left( 7 \right) \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( {\frac{{a^2 }}{{a - x}}} \right) = \frac{{ax - a^2 }}{x} - \frac{{a^2 }}{{a - x}},\left( 8 \right) \\
\frac{{\left( 4 \right) + \left( 8 \right)}}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{\frac{{ax - a^2 }}{x} - \frac{{a^2 }}{{a - x}} + x}}{2} = - \frac{{a^2 }}{{2x}} - \frac{{x^2 }}{{2a - 2x}} \\
\end{array}
\]
Thử lại: