Đến nội dung


Hình ảnh

$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

bđt 6

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 04-10-2012 - 21:29

1 bài toán BĐT về số tự nhiên khá hay :D
Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đã gửi 19-02-2016 - 15:36

1 bài toán BĐT về số tự nhiên khá hay :D
Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

Bài này để có lời giải chặt chẽ, đầy đủ cần sử dụng một số kết quả về giới hạn chuyển qua BĐT và ngược lại của đại học.

Cụ thể

Bổ đề 1 : Giả sử dãy $\left ( a_{n} \right )$ tăng và có giới hạn c thì $a_{n}\leq c$ với mọi n

Bổ đề 2 : Giả sử dãy ($a_{n}$) thỏa mãn $\left ( a_{n} \right )$ giảm và $\lim a_{n}=c$ thì $a_{n}\geq c$ với mọi n.

Chờ lời giải sơ cấp của mn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 19-02-2016 - 16:23


#3 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-02-2016 - 22:52

Với $n = 1$, bđt đúng. Xét $n > 1$
Bổ đề 1. $\lim_{n\to+\infty}{(1 - \frac{1}{n})^{n}} = \frac{1}{e}$
Chứng minh. Một giới hạn quen thuộc là $\lim_{k\to+\infty}{(1 + \frac{1}{k})^{k + 1}} = e$. Thay $k$ bởi $n - 1$, có
$\lim_{n\to+\infty}(\frac{n}{n - 1})^{n} = e \implies \lim_{n\to+\infty}(1 - \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e}$


 

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{2n - 1}{2n} > e(1 - \frac{1}{n})^{n} > \frac{n - 1}{n}$
Lấy $\ln$, có $\ln (2n - 1) - \ln (2n) > 1 + n\ln (1 - \frac{1}{n}) > \ln (n - 1) - \ln (n)$
1) $\ln (2n - 1) - \ln (2n) > 1 + n\ln (1 - \frac{1}{n}) \iff \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(1 - \frac{1}{n}) > 0$. Xét hàm số $f(n) = \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(1 - \frac{1}{n}) = \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(n - 1) + n\ln(n)$ với $n \in \mathbb{N}, n \neq 1$
$f'(n) = \frac{2}{2n - 1} - \frac{1}{n} - \ln(n - 1) - \frac{n}{n - 1} + \ln(n) + 1 = \frac{1}{n(2n - 1)} - \frac{1}{n - 1} + \ln(n) - \ln(n - 1)$
$f''(n) = \frac{1- 4n}{(2n^{2} - n)^{2}} + \frac{1}{(n - 1)^{2}} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1} = \frac{5n^{2} - 5n + 1}{(2n - 1)^{2}n^{2}(n - 1)^{2}} > 0 \forall n \ge 1$
Do đó $f''(n)$ là hàm tăng và liên tục trên $[2; +\infty)$ nên $f'(n) < \lim_{n\to+\infty}f'(n) = 0$. Do đó hàm $f(n)$ là hàm giảm trên $[2; +\infty)$
$\implies f(n) > \lim_{n\to+\infty}f(n) = 0$ (từ bổ đề 1)

2) $1 + n\ln(n - 1) - n\ln(n) - \ln(n - 1) + \ln(n) > 0$. Xét $g(n) = 1 + n\ln(n - 1) - n\ln(n) - \ln(n - 1) + \ln(n)$ trên $[2; +\infty)$
Có $g'(n) = \ln(n - 1) - \ln(n) + \frac{1}{n}$ và $g''(n) = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}(n - 1)} > 0$.
Từ đó có $g'(n)$ đồng biến trên $[2; +\infty)$ hay $g'(n) < \lim_{n\to+\infty}g'(n) = 0$. Do đó $g(n)$ nghịch biến trên $[2; +\infty)$
$g(n) > \lim_{n\to+\infty}g(n) = 0$.
Vậy bất đẳng thức luôn đúng.
Lời giải xấu xí quá -.-

:mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:
http://press.princet...wers_VIII_6.pdf
Lời khuyên dành cho các nhà toán học trẻ.


#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1290 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-02-2016 - 11:00

Với $n=1$ thì dễ rồi. Với $n\geq 2$ viết lại điều phải chứng minh thành :

$$\frac{1}{2n}< 1-e^{1+n \ln \left( 1-\frac{1}{n}\right) }<\frac{1}{n}$$

Xét sự khai triển Taylor (tâm 0) với phần dư Lagrange của hàm $\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)$ :

$$\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3(1+c)^3}$$

Với $c$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{n}$ nên $-\frac{1}{2}\leq c\leq 0$, bằng biến đổi tương đương suy ra :

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}<\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{n}<1+n \ln\left(1-\frac{1}{n}\right)<-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}$$

$$\Rightarrow 1-e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}< 1-e^{1+n \ln \left( 1-\frac{1}{n}\right) }<1-e^{-\frac{1}{n}}$$

 

Khai triển Taylor với phần dư Lagrange cho $e^{-\frac{1}{n}}$ ta có :

$$e^{-\frac{1}{n}}=1-\frac{1}{n}+\frac{e^a}{2n^2}>1-\frac{1}{n}$$

Với $a$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{n}$

$$\Rightarrow 1-e^{-\frac{1}{n}}<\frac{1}{n}$$

 

Mặt khác xét tiếp khai triển Taylor với phần dư Lagrange của $e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}$ :

$$e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}=1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac{e^b}{2}\left(-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}\right)^2$$

Với $b$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}$ hay $-\frac{1}{3}\leq b\leq 0$, bằng biến đổi ta suy ra :

$$1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac{e^b}{2}\left(-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}\right)^2<1-\frac{1}{2n}$$

Hay :

$$1-e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}>\frac{1}{2n}$$

 

2 bất đẳng thức trên kết thúc chứng minh

--------------

Khai triển Taylor áp dụng trong bài : http://mathworld.wol...eRemainder.html

Bài toán thực chất chỉ là chứng minh $\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$, với hầu hết bài toán như vậy, áp dụng khai triển Taylor chẳng có gì khó khăn.

Big O function : https://en.wikipedia.../Big_O_notation


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-02-2016 - 11:01

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh