Chủ đề này có 3 trả lời

[TuluyenToan]

Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$
$U_{n}=\dfrac{f(1)f(3)...f(2n-1)}{f(2)f(4)...f(2n)}, n\in N$
Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim} n\sqrt{U_{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 07-10-2012 - 03:13

[thanh hai nguyen]

rút gọn $\frac{f(2n-1)}{f(2n)}$ rồi cho n chạy từ 1 tới n, nhân các tích lại xem sao ?

[robin997]

Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$
$U_{n}=\dfrac{f(1)f(3)...f(2n-1)}{f(2)f(4)...f(2n)}, n\in N$
Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim} n\sqrt{U_{n}}$

[font='times new roman', ', times, serif} ']Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']$U_{n}=\dfrac{f(1)f(3)...f(2n-1)}{f(2)f(4)...f(2n)}, n\in N$[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim} n\sqrt{U_{n}}$[/font]

Để ý $f(n)$ một tí, ta sẽ có kết quả ^^
Ta có:
$f(n)=(n^2+n+1+i)(n^2+n+1-i)=(n+i)(n+1-i)(n-i)(n+1+i)=h(n)h(n+1)$
Với $h(n)=(n+i)(n-i)=n^2+1$
Theo đó:
$U_n=\frac{h(1)}{h(2n+1)}=\frac{2}{4n^2+4n+2}=\frac{1}{2n^2+2n+1}$
Nên:
$I=limn\sqrt{U_n}=lim\sqrt{\frac{n^2}{2n^2+2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{lim2+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{\sqrt2}{2}$

[TuluyenToan]

Cảm ơn bạn!!!
Cách của mình có biến đổi một tí:
$f(n)=\begin{bmatrix} (n^2+1)+n) \end{bmatrix}^2+1$
$=(n^2+1)^2+2n(n^2+1)+n^2+1$
$=(n^2+1)(n^2+1+2n+1)$
$=(n^2+1)\begin{bmatrix} (n+1)^2+1 \end{bmatrix}$
$\frac{f(2n-1)}{f(2n)}= \dfrac{(4n^2-4n+2)(4n^2+1)}{(4n^2+1)(4n^2+4n+2)}$
$=\frac{(2n-1)^2+1}{(2n+1)^2+1}$
Từ đó: $U_{n}=\frac{1^2+1}{3^2+1}.\frac{3^2+1}{5^2+1}.\frac{5^2+1}{7^2+1}....\frac{(2n-1)^2+1}{(2n+1)^2+1}$
$=\frac{1^2+1}{(2n+1)^2+1}=\frac{2}{4n^2+4n+2}= \frac{1}{2n^2+2n+1}$
Tới đây mình làm như bạn đã trình bày.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 06-10-2012 - 21:21