Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm chữ số tận cùng của: $\begin{bmatrix} \frac{10^{2000}}{10^{100}+3} \end{bmatrix}$

haa ms ueh t17

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
TuluyenToan

TuluyenToan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
Tìm chữ số tận cùng của: $\begin{bmatrix} \frac{10^{2000}}{10^{100}+3} \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 07-10-2012 - 03:12

THỦ KHOA ĐẠI HỌC!!!!


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Tìm chữ số tận cùng của: $\begin{bmatrix} \frac{10^{2000}}{10^{100}+3} \end{bmatrix}$

Giải như sau:
Ta gọi $10^{2000}=(10^{100}+3)p+r$ với $0\le r<10^{100}+3$
Suy ra $\left\lfloor\dfrac{10^{2000}}{10^{100}+3}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{(10^{100}+3)p+r}{10^{100}+3}\right\rfloor=\left\lfloor p+\dfrac{r}{10^{100}+3}\right\rfloor=p+\left\lfloor\dfrac{r}{10^{100}+3}\right\rfloor=p$ (do $r<10^{100}+3$ nên $\left\lfloor\dfrac{r}{10^{100}+3}\right\rfloor=0$)
Như vậy ta cần tìm chữ số tận cùng của $p$
Ta có $10^{2000}-3^{20}+3^{20}$ mà $10^{2000}-3^{20}=(10^{100})^{20}-3^{20} \vdots (10^{100}+3)$ mà $3^{20}<10^{100}+3$
Cho nên theo tính chất của phép chia thì số dư $r=3^{20}$ và khi đó suy ra $10^{2000}-3^{20}=(10^{100}+3)p$
Ta có $10^{2000}-3^{20}=(10^{100})^{20}-3^{20}$ đặt $10^{100}=a$
Do đó $a^{20}-3^{20}=(a+3)p$
Suy ra $(a^5-3^5)(a^5+3^5)(a^{10}+3^{10})=(a+3)p$
$\Rightarrow (a^5-3^5)(a^4+3a^3+9a^2+27a+81)(a^{10}+3^{10})=p$
Ta có $a^5-3^5=(10^{100})^5-3^5$ tận cùng là $7$
Lại có $a^{10}+3^{10}=(10^{100})^{10}+3^{10}$ tận cùng là $9$
Giờ xét $a^4+3a^3+9a^2+27a+81$ ta thấy $a$ chẵn nên $a^4+3a^3+9a^2+27a+81$ lẻ và do $a \vdots 5$ nên $a^4+3a^3+9a^2+27a+81 \equiv 1 \pmod{5}$ do đó $a^4+3a^3+9a^2+27a+81$ tận cùng là $1$
Suy ra $p$ tận cùng là tận cùng của $7*9*1$ tận cùng là $3$
Đáp số $\boxed{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 06-10-2012 - 17:41


#3
TuluyenToan

TuluyenToan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
Tới đoạn này có thể viết:
$A=\begin{bmatrix}
\dfrac{10^{2000}}{10^{100}+3}
\end{bmatrix}=p$

$=\dfrac{10^{200}-3^2}{10^{100}+3}(10^{200.9}+10^{200.8}.3^2+...+10^{200.1}.3^{2.8}+3^{2.9})$
$=(10^{100}-3)(10^{1800}+10^{1600}.3^{2}+...+3^{18})$
Ta có $3^{18}\equiv 3^{4.4+2}\equiv 9.81^{4}\equiv 9(mod 10)$
nên $A\equiv -3.9\equiv -27\equiv 3(mod10)$
Đây là một cách viết suy ra từ bài của bạn để cho ngắn hơn thôi.
Cảm ơn bạn!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 06-10-2012 - 19:12

THỦ KHOA ĐẠI HỌC!!!!






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: haa ms ueh, t17

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh