Chủ đề này có 2 trả lời

[TuluyenToan]

Tìm tất cả các tập con khác rỗng A, B, C của tập các số nguyên dương $Z^{+}$ thỏa:
(1): $A\cap B=B\cap C=C\cap A= \varnothing$
(2): $A\cup B\cup C=Z^{+}$
(3): Với mọi $a\in A,b\in B,c\in C$, ta có $a+c\in A, b+c\in B, a+b\in C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 07-10-2012 - 03:14

[robin997]

Tìm tất cả các tập con khác rỗng A, B, C của tập các số nguyên dương $Z^{+}$ thỏa:
(1): $A\cap B=B\cap C=C\cap A= \varnothing$
(2): $A\cup B\cup C=Z^{+}$
(3): Với mọi $a\in A,b\in B,c\in C$, ta có $a+c\in A, b+c\in B, a+b\in C$

Bài này bạn để ý sẽ thấy thấy cái quy tắc về số dư chia cho 3 nằm ở đề bài:
i) Dư 2 +dư 1 thì chia hết
ii) Chia hết + dư 1 thì dư 1
iii) Chia hết + dư 2 thì dư 2
Dư đoán: C là tập chia hết và B, C là 2 tập chia có dư:
-Xét $1\in C$, xét $a\in A$ $b\in B$, WLOG, ta có thể giả sử $a>b$
Khi đó theo điều kiện $(3)$ , ta có $B\bigcap A=A$, mâu thuẫn với $(1)$
Do đó $1\notin C$,WOLG, giả sử $1\in A$
-Xét tiếp $2\in C$
Từ $(3)$:
+$1+2=3\in A$
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+2\in B$ $\rightarrow b+4\in B$ $\rightarrow b+6\in B$
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+3\in C$ $\rightarrow b+6\in C$
Mâu thuẫn với $(1)$!
-Nếu cũng có $2\in A$:
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+1,b+2\in C$ $\rightarrow b+1+1=b+2\in A$
Mâu thuẫn với $(1)$!
-Nên khi này có $2\in B$
Suy ra $3\in C$
$\rightarrow 1+3k\in A$ và $\rightarrow 2+3k\in B$
Theo $(1)$ và $(2)$, ta có: $3k\in C$ ($k\in N*$)
Tóm lại, có 2 TH xảy ra:
C là tập số nguyên dương chia hết cho 3 , A là tập số nguyên dương chia 3 dư 1, B là tập số nguyên dương chia 3 dư 2
Hoặc C là tập số nguyên dương chia hết cho 3 , A là tập số nguyên dương chia 3 dư 2, B là tập số nguyên dương chia 3 dư 1

[TuluyenToan]

Một số vấn đề chưa được rõ ràng cho lắm, bạn có thể trình bày rõ hơn không? Cảm ơn bạn!