Chủ đề này có 2 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Tìm $p,q\in \mathbb{P}$ thỏa mãn $3pq\mid a^{3pq}-a$ với mọi $a\in \mathbb{Z}^+$

[nguyenta98]

Tìm $p,q\in \mathbb{P}$ thỏa mãn $3pq\mid a^{3pq}-a$ với mọi $a\in \mathbb{Z}^+$

Giải như sau:
Giả sử $p\geq q$
TH1: $q=2$ khi đó ta có $6p|a^{6p}-a$ với mọi $a \in \mathbb{Z}^+$ khi ấy $a(a^{6p-1}-1) \vdots 6p$
Mặt khác do đúng với mọi $a$ nên ta chọn $a \equiv 2 \pmod{3}$ khi ấy $a(a^{6p-1}-1) \not \vdots 3$ suy ra loại
TH2: $q>2$ suy ra $p>2$ khi ấy ta có $3pq|a^{3pq}-a=a(a^{3pq-1}-1)$
Vì $p,q>2$ nên $3pq-1$ chẵn nên $a(a^{3pq-1}-1)$ luôn chia hết cho $3$ với mọi $a$
Mặt khác do đúng với mọi $a$ nên ta chọn $a$ sao cho $gcd(a,p)=gcd(a,q)=1$ nên chọn $a=2$
Khi đó $pq|2^{3pq}-1$
Lại có theo Fermat nhỏ ta có $(^{3p})^{q-1}-1 \vdots q \Rightarrow a^{3p(q-1)}-1 \vdots q \Rightarrow a^{3p-1}(a^{3p(q-1)}-1) \vdots q \Rightarrow a^{3pq-1}-a^{3p-1} \vdots q$ $(1)$
Mặt khác $a^{3pq-1}-1 \vdots q$ $(2)$ nên từ $(1)(2)$ suy ra $a^{3p-1}-1 \vdots q$
Như vậy tương tự $a^{3q-1}-1 \vdots p$
Vì đúng với mọi $a$ thì ta chọn $a$ sao cho $a$ là căn nguyên thủy của $p$ khi đó $a^{p-1}-1 \vdots p$ với $p-1$ là cấp
Khi ấy $3q-1 \vdots p-1$ mà nếu $p=q$ thì $3p-1 \vdots p-1 \Rightarrow 3p-3+2 \vdots p-1 \Rightarrow 2 \vdots p-1$ suy ra $p=q=3$ nhưng khi ấy chọn $a=4$ thì suy ngay ra loại, do đó $p>q$ khi ấy $3q-1<3p-3$ nên $3q-1=p-1 \Rightarrow 3q=p$ loại hoặc $3q-1=2(p-1) \Rightarrow 3q+1=2p$ $(3)$
Làm tương tự, chọn số $a'$ sao cho $a'$ là căn nguyên thủy của $q$ khi đó tương tự ta có $q-1|3p-1$ $(4)$
Từ $(3)(4)$ suy ra $q-1|6p-2=9q+1 \Rightarrow q=11$ khi đó suy ra $p=17$
Giờ ta thử lại, $3.11.17|a^{3.11.17}-a$ với mọi $a$
Ta thấy $3|a^{3.11.17}-a$ thì hiển nhiên đúng, giờ ta xét $11.17|a^{3.11.17-1}-1$ khi ấy $a^{560}-1 \vdots 11.17$ mặt khác $560 \vdots (11-1)$ và $\vdots (17-1)$ nên theo Fermat nhỏ dễ dàng suy ra $đpcm$
Vậy $\boxed{(p,q)=(11,17),(17,11)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 06-10-2012 - 22:14

[Stranger411]

Tìm $p,q\in \mathbb{P}$ thỏa mãn $3pq\mid a^{3pq}-a$ với mọi $a\in \mathbb{Z}^+$

Nếu biết giới hạn $p,q$ và chọn $a$ là căn nguyên thủy của $n$ ngay từ đầu thì bài toán sẽ gọn hơn rất nhiều.
Giả sử $p \ge q$

+ Cho $a=3$, ta có:
${3^{pq}} \equiv 3\left( {\bmod 3pq} \right) \Rightarrow 3\left( {{3^{pq - 1}} - 1} \right) \vdots 3pq \Rightarrow p,q > 3$

+ Cho ${a^{\varphi \left( n \right)}} \equiv 1\left( {\bmod n} \right)$ ( $a$ là căn nguyên thủy của $n$)
Theo định lí Fermat nhỏ: ${a^{p - 1}} \equiv 1\left( {\bmod p} \right)$
Vì ${a^{3pq - 1}} \equiv 1\left( {\bmod p} \right) \Rightarrow p - 1|3pq - 1 \Rightarrow p - 1|3q - 1$
Chứng minh tương tự: $q - 1|3p - 1$
Vì $p \ge q$ nên $3q - 1 \in \left\{ {p - 1;2\left( {p - 1} \right);3\left( {p - 1} \right)} \right\}$
Thay vào điều kiện bài toán, ta được: $\boxed{(p,q)=(11,17),(17,11)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 06-10-2012 - 22:44