Chủ đề này có 1 trả lời

[TuluyenToan]

CM: $\cos ^{2}(\frac{B-C}{2})\geq \frac{2r}{R}$

[dark templar]

CM: $\cos ^{2}(\frac{B-C}{2})\geq \frac{2r}{R}$

Để ý rằng:$\cos{\frac{A-B}{2}}=\frac{\cos{A}+\cos{B}}{2\sin{\frac{C}{2}}}$,nên ta có thể viết lại BĐT dưới dạng:
$$\sum_{cyc}\frac{(\cos{A}+\cos{B})^2}{4\sin^2{\frac{C}{2}}} \ge \frac{2r}{R}$$
Theo C-S:
$$\sum_{cyc}\frac{(\cos{A}+\cos{B})^2}{4\sin^2{\frac{C}{2}}} \ge \frac{(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C})^2}{\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}}$$
Ta thực hiện 1 chút phép biến đổi ở đây.Ta có:
$$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=1+\frac{r}{R}$$
$$\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}=\frac{3-(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C})}{2}=\frac{2-\frac{r}{R}}{2}>0$$
Vậy bài toán dẽ được giải quyết nếu ta chứng minh được:
$$\frac{\left(1+\frac{r}{R} \right)^2}{2-\frac{r}{R}} \ge \frac{r}{R} \iff \frac{2r^2}{R^2}+1 \ge 0$$
Đây là điều hiển nhiên,nên ta có đpcm.Đẳng thức không xảy ra.
P/s:Ta có thể liên hệ BĐT này với BĐT Jack-Garfulkel:$\sum_{cyc}\cos{\frac{A-B}{2}} \ge \frac{2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})}{\sqrt{3}}$.