Chủ đề này có 1 trả lời

[Le Quoc Tung]

Chứng minh rằng $3^{2n+1}+1$ chỉ có các ước nguyên tố dạng 3k+1 và 2.

[nguyenta98]

Chứng minh rằng $3^{2n+1}+1$ chỉ có các ước nguyên tố dạng 3k+1 và 2.

Giải như sau:
Giả sử $3^{2n+1}+1$ có ước nguyên tố dạng $3k+2$ và gọi nó là $p$
Suy ra $3.(3^n)^2+1 \vdots p \Rightarrow (-3)(3^n)^2 \equiv 1 \pmod{p} $
$\Rightarrow (-3)^{\frac{p-1}{2}}.(3^n)^{p-1} \equiv 1^{p-1} \pmod{p} $
$\Rightarrow (-3)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}}.3^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$
TH1: $p \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow 3^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ khi đó $3$ là scp $mod(p)$ nên $p=12k\pm1 $ mà $p \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow p=12k+1$ nhưng khi đó $p \equiv 1 \pmod{3}$ vô lí do ta giả sử $p \equiv 2 \pmod{3}$
TH2: $p \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow 3^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$ khi đó $3$ không là scp mod $p$ nhưng do $p \equiv 3 \pmod{4}$ và $ p \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow p=12k+11$ khi đó $3$ là scp $mod(p)$ vô lí
Vậy có điều giả sử là sai suy ra $đpcm$