Bài toán mở đầu.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a\geq b\geq 1,a\leq 3,ab\leq 6,ab\leq 6c$.Chứng minh rằng:
$$a+b-c\leq 4$$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng:
$$a+b+1\leq 3+2+c$$
Ta có đẳng thức sau:
$$3+2+c=(a-b).\frac{3}{a}+\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\right)(b-1)+\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c\right)$$
Nhưng mặt khác the0 giả thiết và bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$(a-b).\frac{3}{a}+\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\right)(b-1)+\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c\right)\geq (a-b)\frac{3}{a}+2(b-1)\sqrt{\frac{6}{ab}}+3\sqrt[3]{\frac{6c}{ab}}\geq a-b+2(b-1)+3=a+b+1$$
Vậy
$$3+2+c\geq a+b+1$$
Và ta có điều phải chứng minh. $\square$
Cảm giác của các bạn sau khi đọc x0ng lời giải trên là gì?Bằng cảm tính, mình đoán là với những bạn chưa biết về khai triển $Abel$ sẽ cảm thấy lời giải này thật khó hiểu,và kể cả sau khi đọc x0ng 2~3 ngày các bạn vẫn không thể làm lại được chính bài toán này.Để ch0 các bạn THPT và THCS sắp thi cấp 3 có đủ tự tin khi đứng trước 1 bài toán điều kiện nhiều và phức tạp,mình sẽ viết chuyên đề về khai triển $Abel$
$\bullet$ Khai triển $Abel$ tổng quát:
Ch0 $x_1,x_2,....,x_n$ và $y_1,y_2,...,y_n$ là các số thực tùy ý.Đặt $c_k=y_1+y_2+...+y_k\,\,\, \forall k\in R,1\leq k\leq n$.Khi đó:
$$\boxed{x_1y_1+x_2y_2+....+x_n y_n=(x_1-x_2)c_1+(x_2-x_3)c_2+...+(x_{n-1}-x_n)c_{n-1}+x_nc_n}$$
Và 2 đẳng thức thường dùng là:
$$\boxed{a_1 b_1+a_2 b_2=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1+b_2)}$$
$$\boxed{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3b_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)}$$
$\bullet$ Chúng ta sẽ cùng nhau đến với 1 số ví dụ điển hình:
Ví dụ 1:
Ch0 $0<\beta\leq y\leq x,\alpha > 0$ Và $xy\geq \alpha.\beta$.Cm:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$
Phân tích & tìm tòi lời giải:
Đối với những bài toán sử dụng khai triển $Abel$,chúng ta hãy đi từ vế lớn hơn hoặc bằng trước,sau đó phân tích để có xuất hiện nhân tử của vế nhỏ hơn hoặc bằng:
$$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{x}.\frac{x}{\alpha}+\frac{1}{y}.\frac{y}{\beta}$$
Nếu tinh ý,chắc hẳn các bạn cũng thấy được ẩn ý của mình khi phân tích như vậy.Nếu muốn chứng minh $A+B\geq X+Y$ thì cách tách hợp lí nhất để dùng khai triển $Abel$ chính là:
$$A+B=X.b_1+Y.b_2$$
Sa0 ch0 khi dấu bằng xảy ra thì $b_1=b_2=1$. Bây giờ áp dụng khai triển $Abel $ ta có:
$$\frac{x}{\alpha}.\frac{1}{x}+\frac{y}{\beta}.\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\frac{y}{\beta}+\frac{1}{x}.\left(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\right)$$
$$\geq \frac{1}{y}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.2\sqrt{\frac{xy}{\alpha.\beta}}\geq \frac{1}{y}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.2 =\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra tại $x=\alpha,y=\beta$ $\square$
Ví dụ 2.
Ch0 $0<\beta\leq y\leq x,\alpha > 0$ Và $\alpha.y+\beta.x\geq 2\alpha.\beta$.Cm:
$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\leq \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$$
Lời giải:
Cũng tương tự bài trên.Ta xuất phát bằng phân tích:
$$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{x^2}{\alpha ^2}.\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}.\frac{1}{y^2}$$
Sau đó sử dụng khai triển $Abel$ ta có:
$$\frac{x^2}{\alpha ^2}.\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}.\frac{1}{y^2}=\left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right)\frac{y^2}{\beta^2}+\left(\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}\right)\frac{1}{x^2}$$
Nhưng mặt khác lại có $\alpha.y+\beta.x\geq 2\alpha.\beta$ hay $\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\geq 2$ nên $\frac{x^2}{\alpha^2}+1+\frac{y^2}{\beta^2}+1\geq 2\left(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\right)\geq 4\,\,\, \to \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}\geq 2$
Vậy nên:
$$\frac{x^2}{\alpha ^2}.\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{\beta ^2}.\frac{1}{y^2}\geq \frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$$
Ta có điều phải chứng minh .Đẳng thức xảy ra tại $x=\alpha,y=\beta$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-10-2012 - 12:12