Chủ đề này có 5 trả lời

[tieuthumeo99]

Cho a+b+c=1.Tìm Min của P=$a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

[ilovelife]

Cho a+b+c=1.Tìm Min của P=$a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

dễ dàng phân tích bt đó thành:
$(a+b+c) (a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)$
bây giờ chỉ việc tìm min $a^2+b^2+c^2$,... tìm thế nào nhỉ ?
$(a+b+c)^2 = 1 => a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab+bc+ac)$
$=> a^2 + b^2 + c^2 $ min khi 2(ab+bc+ac) max mà lại có 2(ab+bc+ac) nhỏ hơn/bằng $a^2+b^2+c^2$ => a=b=c=1/3 thì ...
không biết đúng chưa, mọi người check lại nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-10-2012 - 20:15

[sogenlun]

Ta có : $$a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+c^2(a+b)+b^2(a+c) = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c).\dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.

[ilovelife]

Ta có : $$a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+c^2(a+b)+b^2(a+c) = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c).\dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.

Em làm được chứ chứ
-------
Mà bài giải anh sai thì phải, min ra 11/27 tại a=b=c=1/3 chứ.

[sogenlun]

Mà bài giải anh sai thì phải, min ra 11/27 tại a=b=c=1/3 chứ.

À. Anh chỉ sửa lại bài của em thôi. Còn min thì em tính sai rồi . ..
Nhanh gọn ta sẽ có $a=b=c$ thì $P = 9a^3 = \dfrac{1}{3}$ mà e.

[triethuynhmath]

dễ dàng phân tích bt đó thành:
$(a+b+c) (a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)$
bây giờ chỉ việc tìm min $a^2+b^2+c^2$,... tìm thế nào nhỉ ?
$(a+b+c)^2 = 1 => a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab+bc+ac)$
$=> a^2 + b^2 + c^2 $ min khi 2(ab+bc+ac) max mà lại có 2(ab+bc+ac) nhỏ hơn/bằng $a^2+b^2+c^2$ => a=b=c=1/3 thì ...
không biết đúng chưa, mọi người check lại nhá

Cách tìm Min $a^2+b^2+c^2$ sai qua nặng rồi.Làm gì có chuyện $2(ab+bc+ca)\leq a^2+b^2+c^2$
Thậm chí nếu có đi chăng nữa thì em vẫn chưa thể kết luận đó là Max $ab+bc+ca$ vì đó chưa là hằng số.
Câu này chỉ cần làm như vầy $A=a^2(a+b+c)+b^2(a+b+c)+c^2(a+b+c)=a^2+b^2+c^2$
Đến đây thì dùng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$