Chủ đề này có 2 trả lời

[nucnt772]

Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$, $\widehat{A'AB}=\widehat{BAD}=\widehat{A'AD}=\alpha$ $(0^{o}< \alpha < 90^{o})$. Hãy tính thể tích của khối hộp.

[E. Galois]

Dễ thấy $V_{ABCD.A'B'C'D'}=6V_{A.A'BD}$

Ta có:
$$BD^2=a^2+a^2-2a.a.\cos\alpha=2a^2(1-\cos\alpha)$$
$$h_{A.A'BD}=\sqrt{AD^2-\left ( \frac{BD\sqrt3}{3} \right )^2}=a\sqrt{\frac{1+2\cos\alpha}{3}}$$
Khối $A.A'BD$ là khối chóp tam giác đều nên:
$$V_{A.A'BD}=\frac{1}{3}.\frac{BD^2\sqrt3}{4}.h=\frac{a^3(1-cos\alpha)\sqrt{2+cos\alpha}}{6}$$
Do đó:
$$V_{ABCD.A'B'C'D'}=a^3(1-cos\alpha)\sqrt{2+cos\alpha}$$

[phatthientai]

Dễ thấy $V_{ABCD.A'B'C'D'}=6V_{A.A'BD}$
Untitled.png
Ta có:
$$BD^2=a^2+a^2-2a.a.\cos\alpha=2a^2(1-\cos\alpha)$$
$$h_{A.A'BD}=\sqrt{AD^2-\left ( \frac{BD\sqrt3}{3} \right )^2}=a\sqrt{\frac{1+2\cos\alpha}{3}}$$
Khối $A.A'BD$ là khối chóp tam giác đều nên:
$$V_{A.A'BD}=\frac{1}{3}.\frac{BD^2\sqrt3}{4}.h=\frac{a^3(1-cos\alpha)\sqrt{2+cos\alpha}}{6}$$
Do đó:
$$V_{ABCD.A'B'C'D'}=a^3(1-cos\alpha)\sqrt{2+cos\alpha}$$

$${{V}_{A.{A}'BD}}=\frac{1}{3}.\frac{B{{D}^{2}}\sqrt{3}}{4}.h=\frac{{{a}^{3}}(1-cos\alpha )\sqrt{1+2cos\alpha }}{6}$$

Do đó:

$$V_{ABCD.A'B'C'D'}=a^3(1-cos\alpha)\sqrt{1+2cos\alpha}$$