Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$

tính tổng quy nạp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 hanhpth

hanhpth

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 08-10-2012 - 23:00

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-10-2012 - 23:15


#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-10-2012 - 23:09

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;

b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;

c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;

d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.

Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).

Spoiler

Viết lại bài toán cần chứng minh
$1^3+2^3+3^3 + .. n^3 = (1+2+3+... + n)^2$
Với $n=1; n=2$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó :P
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$
Tức $1^3+2^3 + 3^3 + ... k^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k)^2$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Viết lại đẳng thức cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
$\Leftrightarrow 4k^3 +12k^2 + 12k + 4 = 4(k+1)^3$
$\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ ~ Đẳng thức này đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
P/s: last night, hú hu hù i stuck it
_______
Thảm khảo thêm ở đây
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#3 hanhpth

hanhpth

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 08-10-2012 - 23:13

Nếu qui nạp thì okay rùi :( mà HS lớp 6 nó có biết qui nạp đâu.

#4 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2012 - 11:08

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

Bài này lớp 8 chứ lớp 6 sao mà giải được.

#5 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-10-2012 - 17:24

Bài này ở lớp 6 chưa học nên không thể giải được. Hôm qua mình có hỏi anh trai mình, anh ấy nói đây là bài toán của lớp 8. Mong bạn có thể sửa để đúng với kiến thức lớp 6. :(

Lớp 6 nếu học ở những trường chuyên lớp chọn (ko phải mình nhé :P) thì cũng sẽ được giới thiệu quy nạp ^^.
Cái này mình mới biết hồi hè =;
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#6 duond12

duond12

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 31-03-2013 - 20:07

Bài này lớp 8 chứ lớp 6 sao mà giải được.

 

 

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<



 

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

vậy các anh giải theo lớp 8 đi

 

: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!


#7 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 31-03-2013 - 20:20

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

Và đây là cách lớp 8

Giả sử $1^3+2^3+3^3+...+n^3=f(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn$

Ta có : $f(1)=1=a+b+c+d$

            $f(2)=9=16a+8b+4c+2d$

            $f(3)=36=81a+27b+9c+3d$

            $f(4)=100=256a+64b+16c+4d$

Giải hệ trên ta được các nghiệm $a,b,c,d$ duy nhất rồi thay vào công thức tổng quát $f(n)$ là xong 


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#8 vipmath9x

vipmath9x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Đã gửi 19-05-2013 - 16:36

13 công thức tổng quát tính tổng các dãy số : 

link:

 

(quan trọng)



#9 qthinh4996

qthinh4996

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 19-05-2013 - 19:03

Mình xin nói một cách tổng quát về bài toán tính tổng $S=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ như sau:

Đầu tiên, với $k=1$ thì $S=1+2+3+...+n$ cái này thì ai cũng biết công thức và cách chứng minh rồi : $S=\frac{n(n+1)}{2}$

*Với $k=2$ thì $S=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ để tính nó thì có nhiều cách lắm nhưng mình xin làm theo cách sau cho tổng quát:

Ta tính tổng :$S'=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)$

$\Leftrightarrow 3.S'=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n(n+1).3=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]$

Sau một hồi giản lược ta được: $3S'=n(n+1)(n+2) \Rightarrow S'=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Ta lại có: $S'=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n) = S+ \frac{n(n+1)}{2}$

$ \Rightarrow S=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

*Với $k=3$ thì $S=1^3+2^3+3^3+...+n^3$

Ta tính tổng $S'=1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+n(n+1)(n+2)$

$ \Rightarrow 4S’=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+n(n+1)(n+2)4=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+…+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]$

Từ đó ta được: $S’= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

Ta có: $n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$

Từ đó ta có: $S’=(1^3+2^3+3^3+…+n^3)+3.(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+2.(1+2+3+…n)$

$\Rightarrow S=S’-3.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – 2.\frac{n(n+1)}{2}=…=(\frac{n(n+1)}{2})^2$

Từ đây bạn làm tương tự với k=4; k=5; …

{Cái này ở lớp nhỏ mới dùng thôi, chứ thiệt sự thì dùng sai phân làm dễ hơn}



#10 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 11-11-2013 - 19:45

mình có 1 cách khá độc đáo :D

ta có: $x^3=[\frac{x(x+1)}{2}]^2-[\frac{x(x-1)}{2}]^2$

=> $1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2-[\frac{1(1-1)}{2}]^2$

     $2^3=[\frac{2(2+1)}{2}]^2-[\frac{2(2-1)}{2}]^2$

     .....

     $n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n-1)}{2}]^2$

=> $1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$



#11 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 08-12-2013 - 15:32

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

Lớp 6 à, cho phép sử dụng công thức này, lạ là đội tuyển xài khỏi chứng minh mà chứng minh thì không biết -_-

$1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=...$



#12 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 12-12-2013 - 16:15

Còn cách khác nữa để tính tổng này 

Khai triển lũy thừa bậc 4 ta có

$1^{4}$

$2^{4}=\left ( 1+1 \right )^{4}=1^{4}+4.1^{3}.1+6.1^{2}.1^{2}+4.1.1^{3}+1^{4}$

$3^{4}=\left ( 2+1 \right )^{4}=2^{4}+4.2^{3}.1+6.2^{2}.1^{2}+4.2.1^{3}+1^{4}$

...

$\left ( n+1 \right )^{4}=n^{4}+4.n^{3}.1+6.n^{2}.1^{2}+4.n.1^{3}+1^{4}$

Cộng các đẳng thức trên rồi thu gọn (để ý những sự giản lược) ta được

$\left ( n+1 \right )^{4}=4\sum_{k=1}^{n}k^{3}+6\sum_{k=1}^{n}k^{2}+4\sum_{k=1}^{n}+n-1$

Các tổng trên đã biết hết nên thay vào dễ dàng tính được $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}$

*Cách này trâu bò nhỉ! Chắc lớp 7,8


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#13 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 17-12-2013 - 21:16

Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6 <_<

MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!

 

Không biết cách này lớp 6 dùng được không nhỉ???  :lol:  :lol:  :lol:

 

Lời giải:

 

Ta cần tìm đa thức bậc bốn $f(x)$ sao cho $f(x)-f(x-1)=x^3$    ($1$)

 

Giả sử $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a\neq 0)$

 

Thay vào ($1$) ta được:

 

    $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-[a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e]=x^3$

 

$\Leftrightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(ax^4-4ax^3+6ax^2-4ax+a+bx^3-3bx^2+3bx-b+cx^2-2cx+c+dx-d+e)=x^3$

 

$\Leftrightarrow 4ax^3+(-6a+3b)x^2+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=x^3$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=1\\ -6a+3b=0\\ 4a-3b+2c=0\\ -a+b-c+d=0 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\\ d=0 \end{matrix}\right.$

 

Do đó: $f(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+e(e\in \mathbb{R})$   ($2$)

 

Cho $x=1;2;3;...;n$ lần lượt thay vào ($1$), rồi cộng vế theo vế và áp dụng ($2$) ta được:

 

$1^3+2^3+...+n^3=f(n)-f(0)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$

 

Vậy $1^3+2^3+...+n^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$



#14 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 06-01-2014 - 20:38

13 công thức tổng quát tính tổng các dãy số : 

link:

 

(quan trọng)

bạn cho mình xin link download đc ko bạn???????


                    What doesn't kill you makes you stronger


#15 ThanhHieu1699

ThanhHieu1699

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 21-06-2015 - 10:09

Chú ý $x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$ . Thêm bớt 1;2;...;n $S=1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)+(1+2+...+n)$. 

Ta được bài toán quen thuộc Tính $1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)$


:ukliam2: Khó khăn bạn gặp hôm nay sẽ làm tăng thêm sức mạnh bạn cần cho ngày mai. Đừng bỏ cuộc :ukliam2: 


#16 tran khanh hung

tran khanh hung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:lý Tự trọng
  • Sở thích:Maths

Đã gửi 22-06-2015 - 10:20

http://dethi.violet....80454/same/show







5 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 5 khách, 0 thành viên ẩn danh