Chủ đề này có 1 trả lời

[nth1235]

Tìm số nguyên tố $u ; v$ thỏa mãn $u^4 + v^4$ chia hết cho $(u + v)^2$

[nguyenta98]

Tìm số nguyên tố $u ; v$ thỏa mãn $u^4 + v^4$ chia hết cho $(u + v)^2$

Giải như sau:
Ta có $u^4-v^4=(u+v)(u-v)(u^2+v^2) \vdots u+v \Rightarrow 2v^4 \vdots (u+v)$
WLOG $u\geq v$
TH1: $v=2 \Rightarrow u^4+16 \vdots (u+2) \Rightarrow 32 \vdots (u+2) \Rightarrow u=2$
TH2: $v>2 \Rightarrow u>2$ khi đó $u+v \vdots 2$ như vậy $2v^4 \vdots (u+v) \Rightarrow u+v=2,2v,2v^2,2v^3,2v^4$ (do $v$ nguyên tố)
Ta thấy nếu $u+v=2$ thì loại, $u+v=2v \Rightarrow u=v \Rightarrow$ đúng với mọi $u,v$ nguyên tố
Nếu $u+v=2v^2,2v^3,2v^4 \Rightarrow u+v \vdots v \Rightarrow u^4+v^4 \vdots (u+v) \vdots v \Rightarrow u^4 \vdots v \Rightarrow u \vdots v$ (do $v$ nguyên tố) mà $u$ nguyên tố nên $u=v$
Vậy $\boxed{u=v}$ với $u,v$ nguyên tố