Chủ đề này có 37 trả lời

[leminhansp]

Mình lập topic này để các bạn trẻ có hứng thú với kì thi này cùng thảo luận!
Mình xin góp một ít tài liệu, không biết trên diễn đàn có chưa nhưng mình cứ tạm up lên ở đây nhé!
[1]  PUTNAM_AND_BEYOND.pdf   5.45MB   7658 Số lần tải
Mình rất thích tài liệu này
[2]  Bai tap dai so tuyen tinh Ng-D-Tuan.pdf   2.51MB   19172 Số lần tải
Tài liệu này có lẽ cũng nên ngâm cứu (sau quyển ĐSTT qua bài tập và ví dụ - Lê Tuấn Hoa)

Còn một tài liệu nữa muốn chia sẻ nhưng 10M không up lên được
Sách thì đọc hai cuốn Đại số 1,2 của Jean + ĐSTT qua bài tập và ví dụ của thầy Lê Tuấn Hoa (Thêm Chuyên khảo đa thức - Lê Hoành Phò (nếu cần ))

Thú thực là mình cũng không giỏi giang gì lắm ở những vấn đề như thế này, nhưng muốn chia sẻ với các bạn những gì mình có thôi
Vấn đề ôn tập thì mình nghĩ là chỉ nên học ở 2 đến 3 tài liệu chính là được, không nên quá lan man, mất thời gian mà không hiệu quả (tất nhiên là nếu đã nắm chắc những vấn đề mà thầy giáo yêu cầu mà có tham vọng giật giải đặc biệt thì vẫn nên tìm hiểu nhiều sách vở )
Sau khi đã chán các bài trong sách thì sẽ làm thêm các bài trong bộ đề (các đề năm trước và đề IMC) trong các đề dự tuyển (bạn nào ôn thì các thầy sẽ cho, năm nào trường chủ nhà cũng in cho mỗi đoàn một quyển mà )

[leminhansp]

Bắt đầu với một số bài trong [1] nhé :

199. Let $M$ be an n x n complex matrix. Prove that there exist Hermitian matrices $A$ and $B$ such that $M=A+iB$. ($A$ matric $X$ is called Hermitian if $\overline{{{X}^{t}}}=X$)
(Tạm dịch: Cho $M$ là ma trân vuông cấp $n$ trên trường số phức ($M\in {{M}_{n}}\left( \mathbb{C} \right)$). CMR: tồn tại ma trận Hec-mít $A, B$ thỏa mãn $M=A+iB$ (Ma trận $X$ được gọi là ma trận Hec-mít nếu $\overline{{{X}^{t}}}=X$)
200. Do there exist n x n matrices $A$ and $B$ such that $AB-BA=I_n$?
(Tạm dịch: Tồn tại hay không các ma trận vuông cấp $n$ $A, B$ thỏa mãn $AB-BA=I_n$?)
201. Let $A$ and $B$ be 2 x 2 matrices with real entries satisfying $(AB-BA)^{n}=I_2$ for some positive integer $n$. Prove that n is even and $(AB-BA)^{4}=I_2$
(Tạm dịch: Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp 2 thỏa mãn $(AB-BA)^{n}=I_2$ với $n$ là một số nguyên dương. CMR: $n$ chẵn và $(AB-BA)^{4}=I_2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 10-10-2012 - 00:52

[Crystal]

Em xin ủng hộ hết mình topic này. Mong sẽ được học hỏi nhiều kinh nghiệm từ các anh/chị, các bạn!

[vietfrog]

Anh Thành ơi không biết khi nào thi nhỉ? Bọn em giờ vẫn chưa động gì đến Đại số Tuyến Tính .
Mới học mấy cái Đại cương thôi .

[leminhansp]

Anh Thành ơi không biết khi nào thi nhỉ? Bọn em giờ vẫn chưa động gì đến Đại số Tuyến Tính .
Mới học mấy cái Đại cương thôi .

Em năm nhất thì cứ đăng kí học Giải tích trước, Đại số để dành năm sau chiến đấu
P/s: theo thông lệ thì cứ giữa tháng tư là thi, năm ngoái (2012), năm nay (2013) thi ở Đà Nẵng đấy, bạn nào đi thi thì tha hồ mà du lịch nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 10-10-2012 - 23:16

[Crystal]

Năm nay phải cố kiếm cái vé vào đội tuyển . Thi ở Đà Nẵng, các mem VMF có gì liên hệ với mình nhé. Chúc các bạn ôn thi tốt.

[vo van duc]

Đi thi 2 năm ở Quy Nhơn và Phú Yên rồi mà vẫn muốn đi tới ĐH Duy Tân, Đà Nẵng quá đi! Mà không còn cơ hội để đi rồi. hi. Già mất rồi. Tới Tết là ra trường mất rồi. hi.
.
.
.
Mình đề nghị điều này nha!
.
.
Topic này ta chỉ nên thảo luận các bài toán thôi. Thảo luận ngoài lề nhiều quá nó làm loảng cái chủ đề của minh đi. Không hấp dẫn nữa. Có tâm sự gì thì nhắn tin cho nhau thôi. hi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 11:31

[vo van duc]

Bài 200: Có thể tham khảo ở đây. http://diendantoanho...n-va-dịnh-thức/

Sẵn tiện mọi người làm thêm bài này nữa nè!
.....................................................................

Tồn tại hay không ma trận vuông thực A cấp n thỏa mãn $AB-BA=A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 11:35

[vo van duc]

Bài 201:

Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$

Ta có:

$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$

$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).C$

$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$

$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.C$

Quy nạp lên ta có:

$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$

$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.C$

Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$

Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!
.............................................
Xin lỗi! Ngày xưa gõ nhầm. Đã sửa xong!

.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-11-2012 - 12:18

[vo van duc]

Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp n thỏa mản: AB = BA, A khả nghịch và tồn tại số nguyên r sao cho $B^{r}=0$.
Chứng minh $A+B^{2012}$ khả nghịch.



http://diendantoanho...-chứng-minh-ab/
...........................................
Cho góp thêm vài bài nha!
Đây là đề dự tuyển các trường đó. An tâm về nguồn gốc đề nhé! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 11:59

[vo van duc]

Tính định thức:

$\begin{vmatrix} a & b & b & ... & b & b\\ -b & a & b & ... & b & b\\ -b & -b & a & ... & b & b\\ ...& ... & ... & ... & ... & ...\\ -b & -b & -b & ... & a & b\\ -b & -b & -b & ... & -b & a \end{vmatrix}$



http://diendantoanho...b-a-endvmatrix/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 11:57

[vo van duc]

Cho đa thức $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}-x+1$ với $a=sin2011\sqrt{2}.cot\sqrt{2}-cos2011\sqrt{2}$ và định thức

$D_{2011}=\begin{vmatrix} 2cos\sqrt{2} & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cos\sqrt{2} & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cos\sqrt{2} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cos\sqrt{2} \end{vmatrix}$

Tính $f(D_{2011})$



http://diendantoanho...2-tinh-fd-2011/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 12:00

[vo van duc]

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$



http://diendantoanho...tinh-dịnh-thức/

[vo van duc]

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

Câu 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+2009B)=detA+2009detB$



http://diendantoanho...9bdeta2009detb/

[vo van duc]

Cho tam thức bậc 2 $p(x)=x^{2}+ax+b$ thỏa mãn $p(x)\geq 0,\forall x\in R$ và A là ma trận vuông thực cấp n.
Chứng minh rằng: $det(p(x))\geq 0$


http://diendantoanho...ằng-detpxgeq-0/

[Janienguyen]

mình không load được quyển của nguyễn doãn tuấn,bạn up lại giùm mình hoặc send giúp mình vào mail
[email protected]
Thanks for sharing!

[Crystal]

mình không load được quyển của nguyễn doãn tuấn,bạn up lại giùm mình hoặc send giúp mình vào mail
[email protected]
Thanks for sharing!

File vẫn download được bạn à. Mình đã gửi qua mail. Bạn check giúp nhé.

[leminhansp]

Xem ra các bạn trẻ không ham hố gì mấy việc trao đổi thế này nhỉ
Thế thì hai bạn già trao đổi vậy

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

Câu 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+2009B)=detA+2009detB$

Câu 1: Chính xác đây là câu 5 đề thi năm 2009 và nó cũng có trong quyển Đại số của Jean (Mình thấy hầu như năm nào cũng có một bài trong đây nhá )
Bài này giải như sau (hình như là cách làm theo đáp án ):
Chọn $B=A\Rightarrow det(A)=0$
Chọn $B=(b_{ij})=\left\{ \begin{array}{1}b_{11}=0\\b_{ij}=0(i>j)\\b_{ii}=1-a_{ii}(i>1)\\b_{ij}=-a_{ij}(i<j) \end{array} \right.$
Với $A=(a_{ij})$
(Viết ra và theo giả thiết) ta được $a_{11}=0$
Khi đổi chỗ hàng hoặc cột,của định thức cho nhau thì định thức chỉ đổi dấu nên ta có thể đổi chỗ sao cho phần tử $a_{ij}$ bất kì ở vị trí của $a_{11}$ (tức là ở hàng 1 cột 1) và bằng cách chọn $B$ tương tự ta chỉ ra được $a_{ij}=0$
Vậy $A=0$

Bài 2: Cách làm tương tự

Nhận xét: với loại bài mà có "thỏa mãn với mọi B" kiểu như trên thì việc chọn B đặc biệt rất có thể sẽ suy ra được điều gì đó

[mrsieulonely]

Bài 201:

Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$

Ta có:

$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$

$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).A$

$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$

$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.A$

Quy nạp lên ta có:

$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$

$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.A$

Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$

Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!

.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!

Anh có thể nói rõ cái khúc đầu đc không anh em không hiểu lắm. Với kí hiệu Tr(AB-BA) là gì thế anh ?

[mrsieulonely]

Cho đa thức $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}-x+1$ với $a=sin2011\sqrt{2}.cot\sqrt{2}-cos2011\sqrt{2}$ và định thức

$D_{2011}=\begin{vmatrix} 2cos\sqrt{2} & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cos\sqrt{2} & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cos\sqrt{2} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cos\sqrt{2} \end{vmatrix}$

Tính $f(D_{2011})$



http://diendantoanho...2-tinh-fd-2011/

Hinh như sai đề r` anh ơi ....................................................................