Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Đại số]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 37 trả lời

#21 dangkhoacb5

dangkhoacb5

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Đã gửi 04-11-2012 - 00:05

Xem ra các bạn trẻ không ham hố gì mấy việc trao đổi thế này nhỉ <_<
Thế thì hai bạn già trao đổi vậy >:)


Câu 1: Chính xác đây là câu 5 đề thi năm 2009 và nó cũng có trong quyển Đại số của Jean (Mình thấy hầu như năm nào cũng có một bài trong đây nhá :icon10: )
Bài này giải như sau (hình như là cách làm theo đáp án >:) ):
Chọn $B=A\Rightarrow det(A)=0$
Chọn $B=(b_{ij})=\left\{ \begin{array}{1}b_{11}=0\\b_{ij}=0(i>j)\\b_{ii}=1-a_{ii}(i>1)\\b_{ij}=-a_{ij}(i<j) \end{array} \right.$
Với $A=(a_{ij})$
(Viết ra và theo giả thiết) ta được $a_{11}=0$
Khi đổi chỗ hàng hoặc cột,của định thức cho nhau thì định thức chỉ đổi dấu nên ta có thể đổi chỗ sao cho phần tử $a_{ij}$ bất kì ở vị trí của $a_{11}$ (tức là ở hàng 1 cột 1) và bằng cách chọn $B$ tương tự ta chỉ ra được $a_{ij}=0$
Vậy $A=0$

Bài 2: Cách làm tương tự

Nhận xét: với loại bài mà có "thỏa mãn với mọi B" kiểu như trên thì việc chọn B đặc biệt rất có thể sẽ suy ra được điều gì đó >:)

anh có thể cho em xin tài liệu luyện thi olympic phần đại số được không, em đang cần gấp, cảm ơn anh nhiều ạ

#22 Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết

Đã gửi 10-11-2012 - 20:53

Bài 201:

Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$

Ta có:

$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$

$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).A$

$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$

$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.A$

Quy nạp lên ta có:

$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$

$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.A$

Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$

Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!

.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!

bạn chỉ cần chỉ ra Tr(AB-BA)=0 mà Tr(C) là (a,-a)
Mình không hiểu ý bài bạn nêu lắm. Nếu tồn tại thì có thể chỉ ra luôn A là ma trân toàn số 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 10-11-2012 - 21:05

Life is a highway!

#23 nguyenhtctb

nguyenhtctb

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 06-12-2012 - 19:39

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0

#24 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 06-12-2012 - 20:37

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0


Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#25 nguyenhtctb

nguyenhtctb

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 07-12-2012 - 01:15

Oh thế ah, mình mới học phần này nên còn khá bỡ ngỡ, đọc 1 số bài tập thấy nó sử dụng mà không chứng minh, hơi bị bức xúc. Bạn có biết cuốn nào chứng minh nó ko? Tiện thể giúp mình luôn bài tập này với ^^
1/Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 =0. Chứng minh rằng Tr(A)=0

2/ Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các số thực dương thoả mãn tổng tất cả các phần tử trên cùng 1 cột nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng E-A là ma trận khả nghịch

#26 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 08-01-2013 - 20:06

Bài thứ n: (Gửi anh Đức :)))

Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.

Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $

Chứng minh $\det(A+B)=0$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#27 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 21:30

Bài thứ n: (Gửi anh Đức :)))

Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.

Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $

Chứng minh $\det(A+B)=0$


Ta có:

$\det (A+B)=\det (A+B)^{T}=\det (A^{T}+B^{T})$ $(*)$

Vì $A$ trực giao nên $\det A=\pm 1\neq 0$

Từ $(*)$ suy ra

$\det A.\det (A+B)=\det A.\det (A^{T}+B^{T})$

$=\det (AA^{T}+AB^{T})$

$=\det (I+AB^{T})$

$=\det (I+AB^{T})^{T}$

$=\det (I+BA^{T})$

$=\det B.\det (A^{T}+B^{T})$

$=-\det A.\det (A+B)$

Suy ra $\det A.\det (A+B)=0$

Mà $\det A=\pm 1\neq 0$ từ nên $\det (A+B)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2013 - 10:46

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#28 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-03-2013 - 13:44

Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"

Cho ma trận vuông cấp 2 A. chứng minh rằng $A^{k}=0$ khi và chỉ khi $A^{2}=0$
Cái này không còn trên lý thuyết mà là bài thi :icon6:
Mọi người chỉ giáo bài này với. hi

Tào Tháo


#29 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-03-2013 - 14:04

Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.

* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.

* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$

Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có
 

$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$

 

Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$

Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$

Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$

Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-07-2013 - 12:34

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#30 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-03-2013 - 17:40

Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.

* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.

* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$

Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có

$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$


Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$

Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$

Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$

Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$

$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu! :(

Tào Tháo


#31 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 13-03-2013 - 19:18

Một số bài tập hay từ kì thi của Rumani (Các bạn có thể tải cuốn RMC 2008 về để xem, search GG nhé!)

THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD DISTRICT ROUND (March $5^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE

Problem 1. If $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, show that $$\det (A^2+A+I_2)\ge \dfrac{3}{4}(1-\det A)^2$$
Problem 2. Consider $A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Show that $\text{rank} A+\text{rank} B\le n$ if and only if there exists an invertible matrix $X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, such that $AXB=O_n$.

THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD FINAL ROUND (April $30^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE

Problem 2: Prove that an invertible matrix $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ has the property $A^{-1}=\overline{A}$ if and only if there exists an invertible matrix $B\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$ such that $A=B^{-1}.\overline{B}$.
Problem 4. Let $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ be an antisymmetric matrix ($\forall i,j, a_{ij}+a_{ji}=0$). Prove that $$\det (A+xI_n).\det (A+yI_n)\ge \det (A+\sqrt{xy}I_n)^2$$

Chúc các bạn ôn thi tốt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:27

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#32 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 13-03-2013 - 19:23

$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu! :(


Ma trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.

P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:25

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#33 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 13-03-2013 - 20:40

A up cái RMC 2008 kia lên cho e xin vs,chứ gg search zùi nhg mà link bị lỗi ^^

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#34 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-03-2013 - 01:46

Ma trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.

P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!

Thực ra cái tính chất kia mới được học hồi tối nay :D

Tào Tháo


#35 Phạm Hồng Minh

Phạm Hồng Minh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đã gửi 31-03-2013 - 09:29

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0

Bài này dựa vào đa thức cực tiểu của ma trận và đa thức đặc trưng là được! Cụ thể như sau:

 

Gọi $P_A(t)$ là đa thức đặc trưng của $A$, ta suy ra được $\deg P_A(t) = n$ và $P_A(A) = 0$.

 

Gọi $f(t)$ là đa thức cực tiểu của $A$, thì ta có $f(A) = 0$ và với gọi đa thức $g(t)$ thỏa $g(A) = 0$ thì $f(t)$ chia hết $g(t)$.

 

Khi đó, theo giả thiết đề bài ta có $f(t)$ là ước của đa thức $g(t) = t^{n_1}$, nên $f(t)$ có dạng $f(t) = t^k, k \leq n+1$. Mặt khác, $f(t)$ cũng chia hết $P_A(t)$ nên suy ra $k = \deg f(t) \leq \degP_A(t) = n$ nên ta suy ra $f(t) = t^k, k \leq n$. Hay $A^k = 0$ với $k \leq n$ nên suy ra $A^{n} = 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hồng Minh: 31-03-2013 - 09:30

.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.
.:. Phạm Hồng Minh .:. - .:. MathAGU .:.
.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.

#36 quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Đã gửi 08-10-2014 - 21:52

anh lập topic 2015 đi anh


Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#37 sinhvienngheo04

sinhvienngheo04

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 17-01-2015 - 16:30

Help me!

Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n lẻ và AB=0. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 ma trận A + AT , B + Bsuy biến



#38 sinhvienngheo04

sinhvienngheo04

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 17-01-2015 - 16:32

TÌm ma trận A cấp n >= 2 sao cho: det (A+M) = det A + det M với mọi ma trận M






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh