Chủ đề này có 37 trả lời

[dangkhoacb5]

Xem ra các bạn trẻ không ham hố gì mấy việc trao đổi thế này nhỉ
Thế thì hai bạn già trao đổi vậy


Câu 1: Chính xác đây là câu 5 đề thi năm 2009 và nó cũng có trong quyển Đại số của Jean (Mình thấy hầu như năm nào cũng có một bài trong đây nhá )
Bài này giải như sau (hình như là cách làm theo đáp án ):
Chọn $B=A\Rightarrow det(A)=0$
Chọn $B=(b_{ij})=\left\{ \begin{array}{1}b_{11}=0\\b_{ij}=0(i>j)\\b_{ii}=1-a_{ii}(i>1)\\b_{ij}=-a_{ij}(i<j) \end{array} \right.$
Với $A=(a_{ij})$
(Viết ra và theo giả thiết) ta được $a_{11}=0$
Khi đổi chỗ hàng hoặc cột,của định thức cho nhau thì định thức chỉ đổi dấu nên ta có thể đổi chỗ sao cho phần tử $a_{ij}$ bất kì ở vị trí của $a_{11}$ (tức là ở hàng 1 cột 1) và bằng cách chọn $B$ tương tự ta chỉ ra được $a_{ij}=0$
Vậy $A=0$

Bài 2: Cách làm tương tự

Nhận xét: với loại bài mà có "thỏa mãn với mọi B" kiểu như trên thì việc chọn B đặc biệt rất có thể sẽ suy ra được điều gì đó

anh có thể cho em xin tài liệu luyện thi olympic phần đại số được không, em đang cần gấp, cảm ơn anh nhiều ạ

[Janienguyen]

Bài 201:

Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$

Ta có:

$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$

$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).A$

$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$

$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.A$

Quy nạp lên ta có:

$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$

$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.A$

Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$

Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!

.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!

bạn chỉ cần chỉ ra Tr(AB-BA)=0 mà Tr(C) là (a,-a)
Mình không hiểu ý bài bạn nêu lắm. Nếu tồn tại thì có thể chỉ ra luôn A là ma trân toàn số 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 10-11-2012 - 21:05

[nguyenhtctb]

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn Aⁿ⁺¹=0, Chứng minh rằng Aⁿ =0

[leminhansp]

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn Aⁿ⁺¹=0, Chứng minh rằng Aⁿ =0

Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"

[nguyenhtctb]

Oh thế ah, mình mới học phần này nên còn khá bỡ ngỡ, đọc 1 số bài tập thấy nó sử dụng mà không chứng minh, hơi bị bức xúc. Bạn có biết cuốn nào chứng minh nó ko? Tiện thể giúp mình luôn bài tập này với ^^
1/Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A² =0. Chứng minh rằng Tr(A)=0

2/ Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các số thực dương thoả mãn tổng tất cả các phần tử trên cùng 1 cột nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng E-A là ma trận khả nghịch

[phudinhgioihan]

Bài thứ n: (Gửi anh Đức )

Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.

Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $

Chứng minh $\det(A+B)=0$

[vo van duc]

Bài thứ n: (Gửi anh Đức )

Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.

Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $

Chứng minh $\det(A+B)=0$

Ta có:

$\det (A+B)=\det (A+B)^{T}=\det (A^{T}+B^{T})$ $(*)$

Vì $A$ trực giao nên $\det A=\pm 1\neq 0$

Từ $(*)$ suy ra

$\det A.\det (A+B)=\det A.\det (A^{T}+B^{T})$

$=\det (AA^{T}+AB^{T})$

$=\det (I+AB^{T})$

$=\det (I+AB^{T})^{T}$

$=\det (I+BA^{T})$

$=\det B.\det (A^{T}+B^{T})$

$=-\det A.\det (A+B)$

Suy ra $\det A.\det (A+B)=0$

Mà $\det A=\pm 1\neq 0$ từ nên $\det (A+B)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2013 - 10:46

[letrongvan]

Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"

Cho ma trận vuông cấp 2 A. chứng minh rằng $A^{k}=0$ khi và chỉ khi $A^{2}=0$
Cái này không còn trên lý thuyết mà là bài thi
Mọi người chỉ giáo bài này với. hi

[vo van duc]

Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.

* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.

* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$

Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có
 

$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$

 

Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$

Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$

Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$

Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-07-2013 - 12:34

[letrongvan]

Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.

* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.

* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$

Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có

$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$

Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$

Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$

Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$

Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$

$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu!

[leminhansp]

Một số bài tập hay từ kì thi của Rumani (Các bạn có thể tải cuốn RMC 2008 về để xem, search GG nhé!)

THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD DISTRICT ROUND (March $5^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE

Problem 1. If $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, show that $$\det (A^2+A+I_2)\ge \dfrac{3}{4}(1-\det A)^2$$
Problem 2. Consider $A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Show that $\text{rank} A+\text{rank} B\le n$ if and only if there exists an invertible matrix $X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, such that $AXB=O_n$.

THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD FINAL ROUND (April $30^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE

Problem 2: Prove that an invertible matrix $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ has the property $A^{-1}=\overline{A}$ if and only if there exists an invertible matrix $B\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$ such that $A=B^{-1}.\overline{B}$.
Problem 4. Let $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ be an antisymmetric matrix ($\forall i,j, a_{ij}+a_{ji}=0$). Prove that $$\det (A+xI_n).\det (A+yI_n)\ge \det (A+\sqrt{xy}I_n)^2$$

Chúc các bạn ôn thi tốt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:27

[leminhansp]

$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu!

Ma trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.

P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:25

[YeuEm Zayta]

A up cái RMC 2008 kia lên cho e xin vs,chứ gg search zùi nhg mà link bị lỗi ^^

[letrongvan]

Ma trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.

P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!

Thực ra cái tính chất kia mới được học hồi tối nay

[Phạm Hồng Minh]

Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn Aⁿ⁺¹=0, Chứng minh rằng Aⁿ =0

Bài này dựa vào đa thức cực tiểu của ma trận và đa thức đặc trưng là được! Cụ thể như sau:

 

Gọi $P_A(t)$ là đa thức đặc trưng của $A$, ta suy ra được $\deg P_A(t) = n$ và $P_A(A) = 0$.

 

Gọi $f(t)$ là đa thức cực tiểu của $A$, thì ta có $f(A) = 0$ và với gọi đa thức $g(t)$ thỏa $g(A) = 0$ thì $f(t)$ chia hết $g(t)$.

 

Khi đó, theo giả thiết đề bài ta có $f(t)$ là ước của đa thức $g(t) = t^{n_1}$, nên $f(t)$ có dạng $f(t) = t^k, k \leq n+1$. Mặt khác, $f(t)$ cũng chia hết $P_A(t)$ nên suy ra $k = \deg f(t) \leq \degP_A(t) = n$ nên ta suy ra $f(t) = t^k, k \leq n$. Hay $A^k = 0$ với $k \leq n$ nên suy ra $A^{n} = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hồng Minh: 31-03-2013 - 09:30

[quangbinng]

anh lập topic 2015 đi anh

[sinhvienngheo04]

Help me!

Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n lẻ và AB=0. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 ma trận A + A^T , B + B^T suy biến

[sinhvienngheo04]

TÌm ma trận A cấp n >= 2 sao cho: det (A+M) = det A + det M với mọi ma trận M