Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

1.6 - Bài toán khoảng cách

chuyên đề ôn thi đh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 mt123

mt123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2012 - 22:12

I.Lý thuyết cơ bản cần nhớ


* Khoàng cách giữa hai điểm $M(x_1,y_1)$ và $N(x_2,y_2)$ là

$$MN = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm $M(x_0,y_0)$ và đường thẳng $Ax+By+C=0 \ \ (\Delta)$. Khi đó:

$$d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$



II. Một số ví dụ có giải
Dạng 1: Các bài toán về khoảng cách thoả mãn một điều kiện cho trước
VD1: Cho hàm số $y= f(x) = \frac{x^3-3}{x+2}, \ \ \left ( C \right ) $. Tìm trên $\left ( C \right )$ những điểm cách đều 2 trục toạ độ.







Giải

Ta thấy những điểm cách đều hai trục toạ độ chính là tất cả các điểm nầm trên đường thẩng $y= \pm x$.
Vậy các điểm phải tìm chính là giao điểm của đường thẳng $y= \pm x$ và $\left ( C \right )$.
Hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình:

\[\left[ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = x\\
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
2{x^2} + 2x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
x = - 1 \pm \sqrt 7
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( \text{thỏa điểu kiện} \right)\]
với $x \ne - 2$.

Vậy trên $\left( C \right)$ có 3 điểm mà từ đó khoảng cách đến hai trục bằng nhau là:
\[{M_1}\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right),\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 7 ; - 1 - \sqrt 7 } \right),\,\,{M_3}\left( { - 1 + \sqrt 7 ; - 1 + \sqrt 7 } \right)\]

Ví dụ 2: Cho hàm số $\left( C \right):\,\,y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}$. Tìm tất cả các cặp điểm ${M_1},{M_2}$ nằm trên $\left( C \right)$ và đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.
Giải
Gọi $(D)$ là phương trình đường thẳng đi qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và có hệ số góc $k$. Khi đó phương trình của $(d)$ là: $y=kx+ \dfrac{5}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $(D)$ là:
\[\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}} = kx + \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {k - 1} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{2} - k} \right)x - \frac{9}{2} = 0
\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\]
Để $(D)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm ${M_1},{M_2}$ đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ thì trước hết phương trình hai của hệ $(I)$ phải có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho:
\[\frac{S}{2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} - k = 0 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\]
Với $k = \frac{3}{2}$ thì phương trình hai của $(I)$ trở thành: ${x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vậy ${M_1}\left( { - 3; - 2} \right),{M_2}\left( {3;7} \right)$ là hai điểm phải tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}\,\,\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách tử $M$ đến $Ox$ gấp hai lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Giải.

Giả sử $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Khoảng cách từ $M(x;y)$ đến hai trục là:

- Trục $Ox$: $\left| y \right| = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}} = {d_1}$

- Trục $Oy$: $\left| x \right| = {d_2}$

Ta có: ${d_1} = 2{d_2} \Leftrightarrow \left| y \right| = 2\left| x \right|$. Xét hai trường hợp sau:

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
{x^2} + x - 15 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 - \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 - \sqrt {62}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 + \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 + \sqrt {62}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
- 2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
3{x^2} + 11x + 15 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)$

Ta thấy phương trình hai của $(I)$ có $\Delta < 0$. Suy ra hệ $(I)$ vô nghiệm.

Vậy các điểm $M$ phải tìm là: ${M_1}\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {61} }}{2}; - 1 - \sqrt {61} } \right),\,{M_2}\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {61} }}{2}; - 1 + \sqrt {61} } \right)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:01


#2 mt123

mt123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2012 - 17:01

Dạng 2: Bài toán tìm cực trị của khoảng cách

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)$. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiện cận là nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 1 = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = 0 \Rightarrow \left( C \right)$ có tiện cận xiên $\left( {{\Delta _2}} \right):x - y = 0$.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}$.

${d_1}\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} - 1} \right|$

${d_2}\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {{x_0} - {x_0} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}$

${d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| + \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}} = \frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 1} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x_0} = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Vậy có hai điểm ${M_1}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 - \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} - \sqrt[4]{8}} \right),\,{M_2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 + \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} + \sqrt[4]{8}} \right)$ làm cho tổng khoảng cách của chúng đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới hai trục toạ độ $Ox,Oy$ là nhỏ nhất.

Giải.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Ta thấy tổng khoảng cách từ $M$ đến $Ox,Oy$ là:
\[d\left( M \right) = \left| {MH} \right| + \left| {MK} \right| = \left| x \right| + \left| y \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\]
Ta thấy: khi toạ độ của $M$ là $M\left( {1;0} \right) \in \left( C \right)$ thì $d\left( M \right) = 1$. . Do đó giá trị nhỏ nhất của $d\left( M \right) $ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Ta chì cần xét bài toán với $x,y$ thoả các điều kiện sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| y \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 < x < 1\\
\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1\]
Khi đó $d\left( M \right) $ trở thành: \[d\left( M \right) = x + \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} - 2 \ge 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\frac{2}{{x + 1}}} - 2 = 2\sqrt 2 - 2\]
Vậy $\min d\left( M \right) = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x + 1 = \frac{2}{{x + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow M\left( {\sqrt 2 - 1;1 - \sqrt 2 } \right)$

Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)$ các điểm ${M_1},{M_2}$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $x=1$.

Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ thuộc nhánh trái của $\left( C \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thuộc nhánh phải của $\left( C \right)$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 - a\\
{x_2} = 1 + b\\
a,b > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = a + \frac{4}{a}\\
{y_2} = - b - \frac{4}{b}
\end{array} \right.$.

Ta có: \[{\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = {\left( { - a - b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}} \right)^2}\]
\[ = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left[ {a + b + \frac{{4\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right]^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{4}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\]
\[ \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\,\,\,\,\left( \text{theo bất đẳng thức Cauchy} \right)\]
\[ = 4ab\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = 8\left( {ab + \frac{8}{{ab}} + 4} \right) \ge 8\left( {2\sqrt {ab\frac{8}{{ab}}} + 4} \right)\]
Suy ra: ${\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} \ge 32\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$.

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b > 0\\
ab = \frac{8}{{ab}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt[4]{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{M_1}\left( {1 - \sqrt[4]{8};\sqrt[4]{8} + 2\sqrt[4]{2}} \right)\\
{M_2}\left( {1 + \sqrt[4]{8}; - \sqrt[4]{8} - 2\sqrt[4]{2}} \right)
\end{array} \right.$.

File gửi kèm



#3 mt123

mt123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-09-2012 - 16:53

III. Bài tấp đề nghị

Bài 1: Cho $\left( C \right):y = \frac{{2{x^2} - 3x - 5}}{{x - 1}}$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách từ $M$ đến $Ox$ gấp ba lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Bài 2: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}$. Tìm trên $\left( C \right)$ những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng $3x+y+6=0$ là nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + m}}{{x + m}}$. Tìm trên đồ thị hàm số ứng với $m=1$ những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Bài 4: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$. Tìm trên mỗi nhánh của $\left( C \right)$ các điểm $M_1,M_2$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho $\left( {{C_a}} \right):y = \frac{{2{x^2}\sin a - 3x\cos a + 6}}{{x - 1}}$. Tìm $a$ để khoảng cách từ $O(0;0)$ đế tiện cận xiên lớn nhất.

Bài 6: Cho hàm số: $\left( C \right):y = x + \frac{1}{{x + 1}}$. Tìm m để đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $OA \bot OB$ (với $O$ là gốc toạ độ)

ĐS: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.

Bài 7: Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\left( C \right)$.

a. Tìm trên hai nhánh phân biệt của $\left( C \right)$ hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất.
b. Chứng minh tích của hai khoảng cách từ hai điểm bất kì trên $\left( C \right)$ đến hai đường tiện cận là một hằng số.

ĐS:

a. $A\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right),\,\,B\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right)$
b. $d = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Tài liệu tham khảo

- Tuyển tập cac chuyên đề luyện thi đại học phần hàm số của Trần Phương.
- Phương pháp giải toán hàm số của Mai Xuân Hệ.
- Một số tài liệu trên internet.

#4 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-05-2013 - 02:20

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN

  • Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
     
  • Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
     
  • Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào... 

    Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
     
  • Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh