Đến nội dung

Hình ảnh

$\large \lim_{x \mapsto 0^+ } x^{x^{x}-1}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
togooverbig

togooverbig

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Bài 1
$\large \lim_{x \mapsto 0^+ } x^{x^{x}-1}$

Bài 2:
$\large \lim_{x \mapsto 0}(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e})^{\frac{1}{x}}$

Bài 3: $\large \lim_{x \mapsto 0 }(\frac{a^{x}- xlna}{b^{x}-xlnb})^{\frac{1}{x^{2}}}$

#2
vantho302

vantho302

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
Bài 1:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^{{x^{x - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\left( {{x^x} - 1} \right)\ln x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\left( {{e^{x\ln x}} - 1} \right)\ln x}}$
Dựa trên ý tưởng: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{e^t} - 1}}{t} = 1$
Trên số mũ ta sẽ nhân và chia cho lượng $x\ln x$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\left( {{e^{x\ln x}} - 1} \right)\ln x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\left( {\frac{{{e^{x\ln x}} - 1}}{{x\ln x}}} \right)x{{\ln }^2}x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{{e^{x\ln x}} - 1}}{{x\ln x}}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x{{\ln }^2}x} \right)}} \\
= {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x{{\ln }^2}x} \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {o^ + }} \frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^{ - 1}}}}}} \\
\end{array}$

Đến đây ta dùng Lopitan ta được:
${e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {o^ + }} \frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^{ - 1}}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - 2x\ln x} \right)}} = {e^0} = 1$

#3
vantho302

vantho302

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
Bài 2: Ta vẫn dựa trên ý tưởng: ${a^b} = {e^{b\ln a}};\left( {a > 0;b > 0} \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {\frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{x}}}}}{e}} \right]^{\frac{1}{x}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{x}}}}}{e}} \right]}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[ {\ln {{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{x}}} - 1} \right]}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[ {\frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right) - 1} \right]}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right) - x}}{{{x^2}}}}}$
Đến đây ta áp dụng quy tắc Lopitan cho số mũ ta được
${e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right) - x}}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{1 + x}} - 1}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x}}{{2x\left( {1 + x} \right)}}}} = {e^{ - \frac{1}{2}}}$

#4
vantho302

vantho302

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
Bài 3: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} - x\ln a}}{{{b^x} - x\ln b}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} - x\ln a}}{{{b^x} - x\ln b}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{{a^x} - x\ln a}}{{{b^x} - x\ln b}}} \right)}}{{{x^2}}}}}$
Đến đây ta Lopitan số mũ ta được:
$\begin{array}{l}
{e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{{a^x} - x\ln a}}{{{b^x} - x\ln b}}} \right)}}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {\left( {{a^x} - 1} \right)\left( {{b^x} - x\ln b} \right)\ln a - \ln b\left( {{b^x} - 1} \right)\left( {{a^x} - x\ln a} \right)} \right]}}{{2x}}}} \\
= {e^{\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{a^x} - 1}}{x}\ln a - \frac{{{b^x} - 1}}{x}.\ln b} \right)}} \\
\end{array}$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{b^x} - x\ln b} \right) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{a^x} - x\ln a} \right) = 1$
$ \Rightarrow {e^{\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{a^x} - 1}}{x}\ln a - \frac{{{b^x} - 1}}{x}.\ln b} \right)}} = {e^{\frac{1}{2}\left( {{{\ln }^2}a - {{\ln }^2}b} \right)}}$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{b^x} - 1}}{x} = \ln b$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} - x\ln a}}{{{b^x} - x\ln b}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = {e^{\frac{1}{2}\left( {{{\ln }^2}a - {{\ln }^2}b} \right)}}$

#5
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Lời nhắn từ BQT: ĐHV khi giải bài nhớ nhắc nhở thành viên về việc đặt tiêu đề. Cố gắng sửa giúp mem mới.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh