Chủ đề này có 3 trả lời

[Mrnhan]

tìm nguyên hàm $I=\int \frac{x^2}{x^5+1}dx$

[nthoangcute]

tìm nguyên hàm $I=\int \dfrac{x^2}{x^5+1}dx$

Theo Wolframalpha:
Ta có:
$\int \dfrac{x^2}{x^5+1}\;dx$
$=\int \dfrac{4x^2}{ \left( x+1 \right) \left( 2{x}^{2}-x+\sqrt {5}x+2 \right) \left(
2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+2 \right) } dx$
$=\int \dfrac{1}{20}{\dfrac { \left( \sqrt {5}-1 \right) \left( -4x+1+\sqrt {5}
\right) }{-2{x}^{2}+x+\sqrt {5}x-2}}
\;dx-\int \dfrac{1}{20}{\dfrac { \left( \sqrt {5}+1 \right) \left( 4x-1+\sqrt {5}
\right) }{2{x}^{2}-x+\int \sqrt {5}x+2}}
\;dx+\int \dfrac{1}{5x+5}\;dx+\dfrac{1}{5}{\dfrac {\sqrt {5}}{2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+2}}
\;dx-\int \dfrac{1}{5}{\dfrac {\sqrt {5}}{2{x}^{2}-x+\sqrt {5}x+2}}\;dx$
$=\dfrac{1}{20} \left( \sqrt {5}-1 \right) \ln \left( 2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+
2 \right) -\dfrac{1}{20} \left( \sqrt {5}+1 \right) \ln \left( 2{x}^{2}-x+
\sqrt {5}x+2 \right) +\dfrac{1}{5}\ln \left( x+1 \right)
+\dfrac{2}{5}\arctan \left( {\dfrac {4x-1-\sqrt {5}}{\sqrt {10-2\sqrt {5}}}
} \right) \sqrt {5}{\dfrac {1}{\sqrt {10-2\sqrt {5}}}}-\dfrac{2}{5}\arctan
\left( {\dfrac {4x-1+\sqrt {5}}{\sqrt {10+2\sqrt {5}}}} \right)
\sqrt {5}{\dfrac {1}{\sqrt {10+2\sqrt {5}}}}$

_________________________________________
Lần đầu tiên làm tích phân mà đã như thế này rồi !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-10-2012 - 17:13

[xuanha]

Theo Wolframalpha:
Ta có:
$\int \dfrac{x^2}{x^5+1}\;dx$
$=\int \dfrac{4x^2}{ \left( x+1 \right) \left( 2{x}^{2}-x+\sqrt {5}x+2 \right) \left(
2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+2 \right) } dx$
$=\int \dfrac{1}{20}{\dfrac { \left( \sqrt {5}-1 \right) \left( -4x+1+\sqrt {5}
\right) }{-2{x}^{2}+x+\sqrt {5}x-2}}
\;dx-\int \dfrac{1}{20}{\dfrac { \left( \sqrt {5}+1 \right) \left( 4x-1+\sqrt {5}
\right) }{2{x}^{2}-x+\int \sqrt {5}x+2}}
\;dx+\int \dfrac{1}{5x+5}\;dx+\dfrac{1}{5}{\dfrac {\sqrt {5}}{2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+2}}
\;dx-\int \dfrac{1}{5}{\dfrac {\sqrt {5}}{2{x}^{2}-x+\sqrt {5}x+2}}\;dx$
$=\dfrac{1}{20} \left( \sqrt {5}-1 \right) \ln \left( 2{x}^{2}-x-\sqrt {5}x+
2 \right) -\dfrac{1}{20} \left( \sqrt {5}+1 \right) \ln \left( 2{x}^{2}-x+
\sqrt {5}x+2 \right) +\dfrac{1}{5}\ln \left( x+1 \right)
+\dfrac{2}{5}\arctan \left( {\dfrac {4x-1-\sqrt {5}}{\sqrt {10-2\sqrt {5}}}
} \right) \sqrt {5}{\dfrac {1}{\sqrt {10-2\sqrt {5}}}}-\dfrac{2}{5}\arctan
\left( {\dfrac {4x-1+\sqrt {5}}{\sqrt {10+2\sqrt {5}}}} \right)
\sqrt {5}{\dfrac {1}{\sqrt {10+2\sqrt {5}}}}$

_________________________________________
Lần đầu tiên làm tích phân mà đã như thế này rồi !!!

trong chương trình học và thi ĐH k thể sử dụng arc đc

[Ispectorgadget]

trong chương trình học và thi ĐH k thể sử dụng arc đc

Thật ra trước đây SGK 12 (chưa cải cách) có cho sử dụng công thức nguyên hàm
$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a} arc tg\frac{x}{a} +c; \,\,\, \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arc\sin \frac{x}{a}+c(a>0)$ nhưng do không giống bắt cứ nước nào trên thế giới nên sau này cấm dùng hàm ngược $arc tg x; arc \sin x$.
Để khắc phục ta có thể làm như sau
Chứng minh $\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{1}{a}u+c $ với $(tg u=\frac{x}{a})$
Đặt $tg u=\frac{x}{a}; \, u \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
$$\Rightarrow \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{d(a\sin u)}{\sqrt{a^2(1-\sin ^2u)}}=\int du=u+c$$