Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x, y dương, tìm min $M$:

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
chanlonggiangthe

chanlonggiangthe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
Cho x, y dương, tìm min $M$:$M = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}$

Dân Thanh Hóa ăn rau má phá đường tàu


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết

Cho x, y dương, tìm min $M$:$M = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}$


$M\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-y)^2(\frac{1}{xy}-\frac{1}{2(x^2+y^2)})\geq 0$, đúng với $x,y\in \mathbb{R^{+}}$.
$M_{min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=y$.

#3
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

$M\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-y)^2(\frac{1}{xy}-\frac{1}{2(x^2+y^2)})\geq 0$, đúng với $x,y\in \mathbb{R^{+}}$.
$M_{min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=y$.

làm sao để biết là 5/2 được????

#4
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ (1)
dấu = xảy ra khi x=y
$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x^{2}}{y^{2}}+1}$
xét f(t)=$\frac{t}{t^{2}+1}$ với t=$\frac{x}{y}> 0$
f'(t) =$\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}$
f'(t)=0 => t=1,
lập BBT thì ta sẽ có Min f(t) = $\frac{1}{2}$ với t=1 =>x=y (2)
Từ (1) và (2) ta có M$\geq$ $\frac{5}{2}$ khi x=y

#5
chanlonggiangthe

chanlonggiangthe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 94 Bài viết
Đoạn

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ (1)
dấu = xảy ra khi x=y
$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x^{2}}{y^{2}}+1}$
xét f(t)=$\frac{t}{t^{2}+1}$ với t=$\frac{x}{y}> 0$
f'(t) =$\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}$
f'(t)=0 => t=1,
lập BBT thì ta sẽ có Min f(t) = $\frac{1}{2}$ với t=1 =>x=y (2)
Từ (1) và (2) ta có M$\geq$ $\frac{5}{2}$ khi x=y

Không hiểu đoạn f'(t)

Dân Thanh Hóa ăn rau má phá đường tàu


#6
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Đoạn
Không hiểu đoạn f'(t)

Cách "xuanha" nói hơi máy móc xíu.
Nói chung với bai fnày thì bạn tìm dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức rồi thay vào tìm được giá trị Min, từ đó có cách thêm bớt hợp lý ^^.

#7
temuop

temuop

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
$M= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) +\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$
$M= \frac{x^{2}+y^{2}}{xy} +\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ $\geqslant 2$
hahaahaahahag như thế có sai không nhở. :lol:

#8
C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết

$M= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) +\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$
$M= \frac{x^{2}+y^{2}}{xy} +\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ $\geqslant 2$
hahaahaahahag như thế có sai không nhở. :lol:

Dấu "=" không xảy ra bạn nhé :)

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#9
nguyenthuan

nguyenthuan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Đặt a=$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$.Dễ thấy $a\geq 2$
M=$a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3.2}{4}=1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
Dấu bằng khi a=2$\Leftrightarrow x=y$

#10
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Cách "xuanha" nói hơi máy móc xíu.
Nói chung với bai fnày thì bạn tìm dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức rồi thay vào tìm được giá trị Min, từ đó có cách thêm bớt hợp lý ^^.

không biết mình máy móc chỗ nào?????

#11
C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết

không biết mình máy móc chỗ nào?????

Ở đoạn $f(t)$, theo mình là vậy vì đây là box THCS mà.

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#12
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Ở đoạn $f(t)$, theo mình là vậy vì đây là box THCS mà.

uk.mình k để ý




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh