Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2} $

oldbeginner and bdtilove123!!

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2012 - 18:03

Cho $ a, b, c $ là 3 số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3 $. CMR:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2} $ Tổng quát hơn với cùng điều kiện như trên tìm hằng số tốt nhất sao cho bất đẳng thức này luôn đúng:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k} $
Sáng tạo bởi bdtilove123 và oldbeginner!!
http://www.artofprob...p?f=52&t=502182

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-10-2012 - 18:27


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2012 - 18:45

Không mất tính tổng quát,giả sử $c=Min(a;b;c)$.Ta có các phân tích sau:
$$VT-3=\frac{1}{3}.\left[3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2\right]$$
$$=\frac{1}{3}.2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{3}.[(a-b)^2+(a-c)(b-c)]$$
Và:
$$VP-3=\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3$$
$$=\frac{(a-b)^2}{(a+2)(b+2)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+2)(c+2)}$$
Vậy điều phải chứng minh được viết lại thành:
$$a^2+b^2+c^2-3\geq \frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(b+2)}\right)+(a-c)(b-c).\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(c+2)}\right)\geq 0$$
Nhưng bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì $c=Min(a;b;c)$ và $a+2,b+2,c+2\geq 2$
Kết thúc chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh