Chủ đề này có 6 trả lời

[z0zLongBongz0z]

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm min của
$\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi z0zLongBongz0z: 14-10-2012 - 17:05

[dark templar]

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm min của
$\sqrt{\frac{xy}{xy+1}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+1}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+1}}$

Nếu chuyển qua giới hạn,ta sẽ thấy bài này có GTNN là 0 khi $x,y \to 0;z \to 1$.

[z0zLongBongz0z]

Nếu chuyển qua giới hạn,ta sẽ thấy bài này có GTNN là 0 khi $x,y \to 0;z \to 1$.

Em xin lỗi. E sửa lại đề rồi

[dark templar]

Em xin lỗi. E sửa lại đề rồi

Nếu sửa đề như em thì vẫn không tồn tại GTNN đâu,mà chi có $\inf$ mà thôi Anh sẽ chứng minh bên dưới.

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm min của
$P=\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}$

Để ý rằng:$xy+z=xy+z(x+y+z)=(z+x)(z+y)$ nên ta viết lại biểu thức P dưới dạng đồng bậc như sau:
$$P=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}+\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{zx}{(y+z)(y+x)}}$$
Có thể thấy đây chỉ là cách phát biểu khác của bài toán Tìm GTNN của:$P=\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}$.
Rõ ràng là $P$ không tồn tại 1 GTNN mà chỉ có GTLN $1<P \le \frac{3}{2}$.

[z0zLongBongz0z]

Nếu sửa đề như em thì vẫn không tồn tại GTNN đâu,mà chi có $\inf$ mà thôi Anh sẽ chứng minh bên dưới.

Để ý rằng:$xy+z=xy+z(x+y+z)=(z+x)(z+y)$ nên ta viết lại biểu thức P dưới dạng đồng bậc như sau:
$$P=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}+\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{zx}{(y+z)(y+x)}}$$
Có thể thấy đây chỉ là cách phát biểu khác của bài toán Tìm GTNN của:$P=\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}$.
Rõ ràng là $P$ không tồn tại 1 GTNN mà chỉ có GTLN $1<P \le \frac{3}{2}$.

Làm thế nào ra được cos hả anh?

[dark templar]

Làm thế nào ra được cos hả anh?

Em học đến hệ thức lượng giác này chưa nhỉ ?
$$\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1$$
Như vậy sẽ tồn tại $x,y,z>0$ sao cho :$\cos{A}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}};...$

[z0zLongBongz0z]

Em học đến hệ thức lượng giác này chưa nhỉ ?
$$\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1$$
Như vậy sẽ tồn tại $x,y,z>0$ sao cho :$\cos{A}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}};...$

Hay quá. thanks anh. Chắc e chép sai đề