Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp n thỏa mản: AB = BA, A khả nghịch và tồn tại số nguyên r sao cho $B^{r}=0$. Chứng minh $A+B^{2012}$ khả nghịch.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 13-10-2012 - 23:14

Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp n thỏa mản: AB = BA, A khả nghịch và tồn tại số nguyên dương r sao cho $B^{r}=0$.
Chứng minh $A+B^{2012}$ khả nghịch.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-02-2013 - 13:33

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 10-01-2013 - 13:11

mình gợi ý cho chứng minh det(A+B2012)=det(A)

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 10-01-2013 - 21:34

Em gan ghê! Dám viết như vậy hả? Cơ sở nào để em viết như vậy?

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 11-01-2013 - 12:51

ma trận B luỹ linh đó anh.bài tổng quát là " AB=BA,B luỹ linh thì detA=det(A+B)" ở đây A không cần khả nghịch,
bài này dễ dàng chứng minh được AB2012=B2012A và B2012 luỹ linh .vậy là xong rồi

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 11-01-2013 - 16:07

Phát biểu của em sai rồi.

Không thể nói: "B lũy linh, AB = BA thì $\det A=\det (A+B)$" được

Vì với $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ và $B=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 1\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

Ta có: $AB=BA$ và $B$ lũy linh nhưng $\det A=1$ còn $\det (A+B)=15$


.............................................................
Phản ví dụ này sai rồi. Đã rất cẩn thận nhưng không thể tưởng tượng là thực hiên phếp cộng sai nên khi nhập máy tính nó tính ra kết quả như vây. Xin lỗi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-01-2013 - 21:33

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 11-01-2013 - 21:08

anh tính lại đi det(A)=det(A+B)=1 đó. giờ em chưa rảnh anh giải đi 2 ngày nữa em đưa đáp án của em lúc đó anh nhận xét nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 11-01-2013 - 21:11

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 11-01-2013 - 21:26

OK. Nhập nhầm nên máy tính tính ra kết quả như vậy. Phản ví dụ trên sai rồi. Và cũng đã chứng minh được mệnh đề đó. hi

Nhưng sẽ chờ xem em chứng minh như thế nào?

......................................................................
Trở lại bài toán của mình.

Trong lời giải của em thì một vấn đề đã giải quyết xong. Nhưng vẫn còn chổ chưa được.

Việc chứng minh $B^{2012}$ luỹ linh thì xem ra là không thể.

Vì nếu $n \le 2012$ thì ma trận $B^{2012}$ luỹ linh

Còn nếu $n>2012$ thì không thể nói ma trận $B^{2012}$ luỹ linh hay không?

Khẳng định 100% là không thể vì ta không biết $r$ là số bao nhiêu.

Ý tưởng thú vị. Nhưng không thể áp dụng cho bài này.


``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````
@phudinhgioihan: Em sửa lại tí cho đúng :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 11-01-2013 - 22:20

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 11-01-2013 - 22:26

hihi! Br=0 nên Bn =0 (anh chứng minh đi nha ) vậy( B2012)n=(Bn)2012=0 suy ra B2012 luỹ linh bâc $\le n$


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
@phudinhgioihan: 1110004 lý luận còn rất yếu và hay sai những phần kết luận...đây chính là yếu điểm chết người, mong bạn cẩn thận hơn khi lập luận nhé ! Chút nhận xét :D. Đã sửa!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 12-01-2013 - 00:41

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#9 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 13-01-2013 - 20:37

em giải rồi đây các anh xem rồi cho em ý kiến nha! đặc biệt là phudinhgioihan em rat thích những lời bình luận của anh nó rất cần với em bây giờ ( em còn yếu lắm nên phải học hỏi để còn giỏi hơn các anh nữa hi!)
anh vo van duc đưa đáp án lên đi anh chắc hay hơn của em nhiều em chờ đó

File gửi kèm


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#10 wastk

wastk

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-01-2013 - 12:34

$A^{2r}=A^{2r}- B^{2.2012r} $

$= (A^2-B^{2.2012})(A^{2(r-1)}+A^{2(r-2)}B^{2.2012}+...+A^2B^{2.2012(r-2)}+B^{2.2012(r-1)})$

$=(A-B^{2012}) (A+B^{2012})(A^{2(r-1)}+A^{2(r-2)}B^{2.2012}+...+A^2B^{2.2012(r-2)}+B^{2.2012(r-1)})$

$\Rightarrow \det(A+B^{2012})\det(A-B^{2012})\det(A^{2(r-1)}+A^{2(r-2)}B^{2.2012}+..+A^2B^{2.2012(r-2)}+B^{2.2012(r-1)})$
$=\det A^{2r}=(\det A)^{2r} \neq 0$

$\Rightarrow \det(A+B^{2012})\neq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-01-2013 - 21:40


#11 GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN

Đã gửi 30-01-2013 - 15:32

1 cách khác:

$det (A+B^{2012})=det(A)det(I+B^{2012}A^{-1})$.

Với $X\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ xét hệ phương trình $(I+B^{2012}A^{-1})X=0$.

Tương đương với

$B^{2012}A^{-1}X=-X$.

$B^{4024}A^{-2}X=X$(do $AB=BA$)

.....

$B^{2012k}A^{-k}X=(-1)^{k}X$.

Với $k$ đủ lớn thì $2012k>r$ nên $B^{2012k}=0$. Từ đó $X=0$.

Phương trình có nghiệm tầm thường nên $\det (A+B^{2012})\neq 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 02-02-2013 - 13:17


#12 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 31-01-2013 - 01:06

Mình không hiểu dòng số 5 lắm.bạn giải thích kĩ hơn được khô[email protected]@.Một ý tưởng tuyệt vời.:).
P/s:Từ đây liệu ta có thể đưa ra nhận xét gì về ma trận mà giao hoán với ma trận lũy linh.:-/

#13 GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN

Đã gửi 02-02-2013 - 13:12

Mình không hiểu dòng số 5 lắm.bạn giải thích kĩ hơn được khô[email protected]@.Một ý tưởng tuyệt vời. :).
P/s:Từ đây liệu ta có thể đưa ra nhận xét gì về ma trận mà giao hoán với ma trận lũy linh.:-/


Vì $X=-B^{2012}A^{-1}X$ nên $X=-B^{2012}A^{-1}(-B^{2012}A^{-1}X)=B^{4024}A^{-2}X$.

#14 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 28-02-2013 - 11:49

Theo mình còn có 1 cách lập luận gần tương tự.
Do B lũy linh nên $B^{2012}A^{-1}$ cũng lũy linh
$det(I+B^{2012}A^{-1})$ khác 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 28-02-2013 - 11:51


#15 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 08-04-2016 - 22:42

Em gan ghê! Dám viết như vậy hả? Cơ sở nào để em viết như vậy?

ta sẽ chứng minh nếu B lũy linh thì det(A+B)=detA . Ở đây cho A khả nghịch lại càng dễ:

det(A+B)=det(A).det(I+A^{-1}B)

Đặt C=A^{-1}B thì hiển nhiên C là ma trận lũy linh, tiếp theo ta sẽ chứng minh det(I+C)=1

có C^r=0, xét p(x)=(x-1)^r => p(I+C)=0 suy ra đa thức tối tiểu của I+C là ước của p(x) suy ra trị riêng của I+C chỉ là 1 nên det(I+C)=1 =>đpcm


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#16 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2017 - 17:51

Con số $2012$ theo mình không có ý nghĩa lắm ở bài này. Thật như vậy, với nhận xét rằng $A^{r} = 0$ thì $A^{t} = 0$ với mọi $t \ge r$; và cũng để thuận tiện ta nói $r$ được đề cập là giá trị nhỏ nhất để $B^{r} = 0$, ta có:

  • Nếu $r\le 2012$ thì $A + B^{2012} = A$ là ma trận khả nghịch theo giả thiết.
  • Nếu $r > 2012$, ta đặt $C = B^{2012}$, lúc này, theo nguyên lý Archimedes tồn tại một số tự nhiên (nhỏ nhất) $c$ ($c \ge 2$) sao cho $2012c \ge r$,  nghĩa là $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Lúc này, ta nhận xét rẳng (có thể chứng minh được) $A$ và $C$ cũng giao hoán nhau; $A$ khả nghịch và $C$ lũy linh. Tức là ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:

'Cho $A, C$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $AC = CA$; $A$ khả nghịch và tồn tại $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Chứng minh rằng $A + C$ cũng khả nghịch.'

Giả sử phản chứng $A + C$ là ma trận không khả nghịch, tức $r(A + C) < n$. Xét phương trình $(A + C)X = 0$ với $X$ là một ma trận $n\times 1$.
Từ định lý Rouché - Capelli, ta thấy:

  1. Phương trình trên có vô số nghiệm $X$ (1)
  2. Phương trình $AX = 0$ có $r(A) = r(A|0) = n$ nên sẽ có nghiệm duy nhất (2)

Mặt khác, phương trình trên tương đương $AX = -CX (*) \implies C^{c - 1}.A.X = -C^{c}X = 0$ (lưu ý $C^{c - 1} \neq 0$). Do $A, C$ giao hoán nhau nên $A$ và $C^{c - 1}$ cũng thế, nghĩa là $C^{c - 1}A = AC^{c - 1}$. Kết hợp các điều trên lại cho ta $AC^{c - 1}X = 0 \implies A^{-1}.A.C^{c - 1} = A^{-1}.0 = 0 \implies C^{c - 1}X = 0 (**)$
Từ (*) và (**), ta có như sau: $C^{c - 2}.AX = -C^{c - 1}X = 0$, tương tự quá trình trên, ta thu gọn được $C^{c - 2}X = 0$.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến cuối cùng, ta thu được $CX = 0$. Từ (*) thì điều này đồng nghĩa với $AX = 0$. Nghĩa là với mỗi giá trị $X$ là nghiệm của $(A + C)Y = 0$ thì $X$ cũng là nghiệm của phương trình $AT = 0$. (3)

Kết hợp (1), (2) và (3) ta thu được mâu thuẫn. Vậy $A + C$ là một ma trận khả nghịch.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 28-09-2017 - 17:54


#17 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 29-09-2017 - 22:13

Con số $2012$ theo mình không có ý nghĩa lắm ở bài này. Thật như vậy, với nhận xét rằng $A^{r} = 0$ thì $A^{t} = 0$ với mọi $t \ge r$; và cũng để thuận tiện ta nói $r$ được đề cập là giá trị nhỏ nhất để $B^{r} = 0$, ta có:

  • Nếu $r\le 2012$ thì $A + B^{2012} = A$ là ma trận khả nghịch theo giả thiết.
  • Nếu $r > 2012$, ta đặt $C = B^{2012}$, lúc này, theo nguyên lý Archimedes tồn tại một số tự nhiên (nhỏ nhất) $c$ ($c \ge 2$) sao cho $2012c \ge r$,  nghĩa là $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Lúc này, ta nhận xét rẳng (có thể chứng minh được) $A$ và $C$ cũng giao hoán nhau; $A$ khả nghịch và $C$ lũy linh. Tức là ta có thể phát biểu lại bài toán như sau:

'Cho $A, C$ là các ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $AC = CA$; $A$ khả nghịch và tồn tại $c$ là số tự nhiên nhỏ nhất để $C^{c} = 0$. Chứng minh rằng $A + C$ cũng khả nghịch.'

Giả sử phản chứng $A + C$ là ma trận không khả nghịch, tức $r(A + C) < n$. Xét phương trình $(A + C)X = 0$ với $X$ là một ma trận $n\times 1$.
Từ định lý Rouché - Capelli, ta thấy:

  1. Phương trình trên có vô số nghiệm $X$ (1)
  2. Phương trình $AX = 0$ có $r(A) = r(A|0) = n$ nên sẽ có nghiệm duy nhất (2)

Mặt khác, phương trình trên tương đương $AX = -CX (*) \implies C^{c - 1}.A.X = -C^{c}X = 0$ (lưu ý $C^{c - 1} \neq 0$). Do $A, C$ giao hoán nhau nên $A$ và $C^{c - 1}$ cũng thế, nghĩa là $C^{c - 1}A = AC^{c - 1}$. Kết hợp các điều trên lại cho ta $AC^{c - 1}X = 0 \implies A^{-1}.A.C^{c - 1} = A^{-1}.0 = 0 \implies C^{c - 1}X = 0 (**)$
Từ (*) và (**), ta có như sau: $C^{c - 2}.AX = -C^{c - 1}X = 0$, tương tự quá trình trên, ta thu gọn được $C^{c - 2}X = 0$.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến cuối cùng, ta thu được $CX = 0$. Từ (*) thì điều này đồng nghĩa với $AX = 0$. Nghĩa là với mỗi giá trị $X$ là nghiệm của $(A + C)Y = 0$ thì $X$ cũng là nghiệm của phương trình $AT = 0$. (3)

Kết hợp (1), (2) và (3) ta thu được mâu thuẫn. Vậy $A + C$ là một ma trận khả nghịch.

Cách làm của em/bạn ý tưởng tốt, tuy nhiên có thể làm ngắn gọn hơn: vì $A$ và $C$ giao hoán nên $(-A)^{c}=C^{c}-(-A)^{c}=(C+A)(C^{c-1}+...+(-A)^{c-1})$. Vì $A$ khả nghịch nên $\det(-A)^{c}\neq 0$ và do đó $\det(C+A)\neq 0$ vì $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ với mọi ma trận vuông $A$, $B$ cấp $n$. Điều đó chứng tỏ $A+C$ là khả nghịch. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-09-2017 - 22:14

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh