Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2b}{a+b+1}+\frac{b^2c}{b+c+1}+\frac{c^2a}{c+a+1}\leq 1$$
Bài toán 2.
Chứng minh với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:
$$\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^2+ac}{a^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^2+ab}{a^2+b^2}}\geq \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-10-2012 - 08:29

[Poseidont]

Bài 2
Ta có
BĐT $\Leftrightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Ta có các đánh giá sau: Theo AM-GM
$\sqrt[3]{\frac{(b^2+c^2)abc}{a^2+bc}}\leq \frac{1}{3}.[\frac{a(b^2+c^2)}{a^2+bc}+b+c]$
$\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{(b^2+c^2)abc}{a^2+bc}}\leq\frac{1}{3} .(\frac{\sum ab(a+b)}{a^2+bc})$
$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}\geq \frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}$
Ta cần chứng minh
$\frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Khai triển và rút gọn đúng theo Schur bậc 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 14-10-2012 - 09:49

[bibitsubomi 9fxshiftsolve]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2b}{a+b+1}+\frac{b^2c}{b+c+1}+\frac{c^2a}{c+a+1}\leq 1$$

trc hết ta có $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$ (*)

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c+1 và để ý (*) thì ta chỉ cần cm

$\sum _{cyc}\frac{a}{a+b+1}\leq 1$

sau khi quy đồng thì ta lại đc (*)