Chủ đề này có 4 trả lời

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$$\frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c}+\frac{b^{2}+c^{2}a}{c+a}+\frac{c^{2}+a^{2}b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$$

[bibitsubomi 9fxshiftsolve]

Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$$\frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c}+\frac{b^{2}+c^{2}a}{c+a}+\frac{c^{2}+a^{2}b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$$

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c ta đc

$\sum a^2+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left [ (\sum a)(\sum a^2)+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc \right ]\geq 2(\sum a)^3$

$\Leftrightarrow 4\sum a^3\geq \sum _{cyc}ab^2+3abc$

(đúng)

bđt đc cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-10-2012 - 22:36

[HÀ QUỐC ĐẠT]

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c ta đc
$\sum a^2+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc\geq \frac{3}{2}$

Bạn có thể làm rõ đoạn này hơn được không

[bibitsubomi 9fxshiftsolve]

bài trên mình sai =.=

BĐT cần cm tđ vs

$\frac{a^3+a^2b+a^2c+b^2c}{b+c}+\frac{b^3+b^2a+b^2c+c^2a}{c+a}+\frac{c^3+c^2a+c^2b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$

$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b+c}+\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \frac{2}{3}$

ta có

$\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \sum a^2+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}=\frac{3}{4}\sum a^2-\frac{1}{4}\sum ab+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}+\frac{\sum a^2+\sum ab}{4}\geq \frac{3}{4}\sum a^2+\frac{1}{4}\sum ab$

đến đây chắc dễ r nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bibitsubomi 9fxshiftsolve: 14-10-2012 - 22:55

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Mình làm thế này
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{a^{2}b}{b+c}\geq \frac{2}{3}$
$$\Leftrightarrow \frac{2}{3}\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{1}{3}\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{a^{2}b}{b+c}\geq \frac{2}{3}$$
Sử dụng Cauchy-Schwarz và Schur
$$\frac{1}{3}\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{a^{2}b}{b+c}\geq\frac{(\sum a^{2})^{2}}{3\sum a^{2}(b+c)}+\frac{(\sum ab)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}=\frac{(\sum a^{2})^{2}}{3\sum ab-9abc}+\frac{(\sum ab)^{2}}{1-\sum ab}\geq \frac{(\sum a^{2}+\sum ab)^{2}}{2\sum ab+1-9abc}\geq \frac{(1-\sum ab)^{2}}{2-2\sum ab}= \frac{1-\sum ab}{2}\geq \frac{1}{3}$$
Có $$\frac{2}{3}\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}$$
Cộng 2 BĐT trên lại ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c