Chủ đề này có 2 trả lời

[hoanzinno]

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì

$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$

[vietfrog]

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì

$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$

BĐT cần chứng minh tương đương:

\[
\frac{{n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }} > \frac{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }}{{\left( {n - 2} \right)^{n - 2} }}
\]
Xét hàm: $
f\left( x \right) = \frac{{x^x }}{{\left( {x - 1} \right)^{x - 1} }}/x > 2
$
Ta có:

\[
f'\left( x \right) = \frac{{x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln x + 1} \right) - x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln \left( {x - 1} \right) + 1} \right)}}{{\left( {\left( {x - 1} \right)^{x - 1} } \right)^2 }} > 0\left( {do\,\ln x > \ln \left( {x - 1} \right)\,\forall x > 2\,} \right)
\]
Suy ra $f(x)$ đồng biến.
Ta có đpcm!

[hoanzinno]

Mình làm thế này ! cảm ơn bạn nhiều !!!!


BĐT$\Leftrightarrow n.lnn+(n-2).ln(n-2)>2(n-1).ln(n-1)\Leftrightarrow n.lnn-(n-1)ln(n-1)>(n-1)ln(n-1)-(n-2)ln(n-2)$
Xét hàm $ f(x)=xlnx - (x-1)ln(x-1), (x>2)$
Ta có $f'(x)=lnx-ln(x-1)>0$ với mọi $x>2\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến.
Ta lại có $n>n-1\Rightarrow n.lnn-(n-1)ln(n-1)>(n-1)ln(n-1)-(n-2)ln(n-2)\Rightarrow$ đpcm.