Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì $$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hoanzinno

hoanzinno

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-10-2012 - 18:52

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì

$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$

#2 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 15-10-2012 - 19:28

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì

$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$

BĐT cần chứng minh tương đương:

\[
\frac{{n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }} > \frac{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }}{{\left( {n - 2} \right)^{n - 2} }}
\]
Xét hàm: $
f\left( x \right) = \frac{{x^x }}{{\left( {x - 1} \right)^{x - 1} }}/x > 2
$
Ta có:

\[
f'\left( x \right) = \frac{{x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln x + 1} \right) - x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln \left( {x - 1} \right) + 1} \right)}}{{\left( {\left( {x - 1} \right)^{x - 1} } \right)^2 }} > 0\left( {do\,\ln x > \ln \left( {x - 1} \right)\,\forall x > 2\,} \right)
\]
Suy ra $f(x)$ đồng biến.
Ta có đpcm!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#3 hoanzinno

hoanzinno

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-10-2012 - 21:17

Mình làm thế này ! cảm ơn bạn nhiều !!!!


BĐT$\Leftrightarrow n.lnn+(n-2).ln(n-2)>2(n-1).ln(n-1)\Leftrightarrow n.lnn-(n-1)ln(n-1)>(n-1)ln(n-1)-(n-2)ln(n-2)$
Xét hàm $ f(x)=xlnx - (x-1)ln(x-1), (x>2)$
Ta có $f'(x)=lnx-ln(x-1)>0$ với mọi $x>2\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến.
Ta lại có $n>n-1\Rightarrow n.lnn-(n-1)ln(n-1)>(n-1)ln(n-1)-(n-2)ln(n-2)\Rightarrow$ đpcm.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh