Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$\frac{(a+b+c)^3}{ab(a+c)}-\frac{4(a+b+c)}{a}\geq c\left(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c}\right)$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca>0$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{(a+b)^2}{a^2+3ab+4b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+3bc+4c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+3ca+4a^2}\geq \frac{3}{2}$$

[Ke Vo Tinh]

Bài 1 biến đổi tương đương, ta được BĐT Schur.

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $ab+bc+ca>0$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{(a+b)^2}{a^2+3ab+4b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+3bc+4c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+3ca+4a^2}\geq \frac{3}{2}$$

 

Ta có

\[\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+3ab+4b^2} - \frac{3}{2} = \frac{\displaystyle \sum c(10ab^2+14abc+3ac^2+6b^2c+7bc^2)(a-b)^2}{\displaystyle 2\prod (a^2+3ab+4b^2)} \geqslant 0.\]