1 hình thức nhận biết số Lucas
Bài toán: Ta gọi một số là số Lucas khi chúng là phần tử trong dãy Lucas :$ \{L_{n} \}_{1}^{\infty}:\left\{\begin{matrix} L_1=1;L_2=3 \\ L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n};\forall n \ge 1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $x$ là số Lucas $\iff 5x^2 \pm 20$ là số chính phương.
Tính chất của số Lucas.
Bắt đầu bởi dark templar, 15-10-2012 - 23:53
dãy số 7. hxthanh perfectstrong
#2
Đã gửi 16-10-2012 - 10:03
Thuận:
Dễ dàng chứng minh
Số hạng tổng quát của dãy Lucas là
$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Trong khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là
$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Từ đây không khó để suy ra được $L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$ hay $5L_n^2-20(-1)^n=25F_n^2$
Đây có lẽ là điều phải chứng minh
Tuy vậy phần đảo thì không biết phải làm thế nào!
Dễ dàng chứng minh
Số hạng tổng quát của dãy Lucas là
$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Trong khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là
$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$
Từ đây không khó để suy ra được $L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$ hay $5L_n^2-20(-1)^n=25F_n^2$
Đây có lẽ là điều phải chứng minh
Tuy vậy phần đảo thì không biết phải làm thế nào!
- E. Galois, perfectstrong, robin997 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 16-10-2012 - 21:42
Chiều đảo là phương trình Pell thì phải
TH1: $5x^2+20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=20 \quad (1)$
Xét một bộ nghiệm tự nhiên nguyên thủy $(x_0;y_0)$ của $(1)$, ta xây dựng dãy các nghiệm tự nhiên của $(1)$ là
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 1;y_1 = 5 \\
x_{n + 1} = \frac{{y_n + 3x_n }}{2};y_{n + 1} = \frac{{3y_n + 5x_n }}{2} \\
\end{array} \right.
\]
Chỉ cần chứng minh cách xây dựng nghiệm trên quét hết các nghiệm nguyên dương của $(1)$
Tìm được công thức tổng quát của $(x_n)$ với chú ý $x_1=1;x_2=4$
\[
\begin{array}{l}
2x_{n + 1} - 3x_n = y_n \\
\Rightarrow 4x_{n + 2} - 6x_{n + 1} = 2y_{n + 1} = 3\left( {2x_{n + 1} - 3x_n } \right) + 5x_n \\
\Rightarrow x_{n + 2} - 3x_{n + 1} + x_n = 0 \\
\Rightarrow x_n = - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n \\
= - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} \\
= \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} \\
= L_{2n - 1} \\
\end{array}
\]
TH2: $5x^2-20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=-20 \quad (2)$
Cách xây dựng nghiệm tương tự, chỉ khác bộ nghiệm nguyên thủy là $x_1=3;y_1=5$
Từ đó suy ra $x_n=L_{2n}$
Vậy chiều đảo được chứng minh.
TH1: $5x^2+20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=20 \quad (1)$
Xét một bộ nghiệm tự nhiên nguyên thủy $(x_0;y_0)$ của $(1)$, ta xây dựng dãy các nghiệm tự nhiên của $(1)$ là
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 1;y_1 = 5 \\
x_{n + 1} = \frac{{y_n + 3x_n }}{2};y_{n + 1} = \frac{{3y_n + 5x_n }}{2} \\
\end{array} \right.
\]
Chỉ cần chứng minh cách xây dựng nghiệm trên quét hết các nghiệm nguyên dương của $(1)$
Tìm được công thức tổng quát của $(x_n)$ với chú ý $x_1=1;x_2=4$
\[
\begin{array}{l}
2x_{n + 1} - 3x_n = y_n \\
\Rightarrow 4x_{n + 2} - 6x_{n + 1} = 2y_{n + 1} = 3\left( {2x_{n + 1} - 3x_n } \right) + 5x_n \\
\Rightarrow x_{n + 2} - 3x_{n + 1} + x_n = 0 \\
\Rightarrow x_n = - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n \\
= - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} \\
= \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} \\
= L_{2n - 1} \\
\end{array}
\]
TH2: $5x^2-20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=-20 \quad (2)$
Cách xây dựng nghiệm tương tự, chỉ khác bộ nghiệm nguyên thủy là $x_1=3;y_1=5$
Từ đó suy ra $x_n=L_{2n}$
Vậy chiều đảo được chứng minh.
- hxthanh, PRONOOBCHICKENHANDSOME, robin997 và 2 người khác yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 24-06-2013 - 02:24
Ta có $1$ bài toán đẹp dùng dãy Lucas đây
Cho dãy $ \{ a_n\} $ xác định bởi
$ a_1=3 $,$ a_2=7 $,$ a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1} $,$ n\geq 2 $
Nếu $ a_n+(-1)^n $ là số nguyên tố
CMR tồn tại $m$ tự nhiên sao cho $ n=3^m $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 24-06-2013 - 02:25
- dark templar, hxthanh, mat troi be nho và 1 người khác yêu thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số 7., hxthanh, perfectstrong
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh đường thẳng qua $A$ vuông góc $\Delta$ luôn đi qua một điểm cố định.Bắt đầu bởi nguyenthehoan, 22-12-2013 perfectstrong |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng $A_1,N_1,Y,Z$ đồng viên.Bắt đầu bởi The Collection, 13-12-2013 perfectstrong, nguyenthehoan |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $OMN$ thuộc một đường thẳng cố định.Bắt đầu bởi nguyenthehoan, 04-06-2013 perfectstrong |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$...\sum^{n-1}_{k=1}(-1)^{\left[\frac{km}{n}\right]}.\left\{\frac{km}{n}\right\}$$Bắt đầu bởi WhjteShadow, 15-04-2013 hxthanh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$\sum^{(p-1)(p-2)}_{k=1}\left[\sqrt[3]{kp}\right]=\frac{(3p-5)(p-2)(p-1)}{4}$$Bắt đầu bởi WhjteShadow, 11-04-2013 hxthanh |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh