Chủ đề này có 4 trả lời

[dark templar]

1 hình thức nhận biết số Lucas
Bài toán: Ta gọi một số là số Lucas khi chúng là phần tử trong dãy Lucas :$ \{L_{n} \}_{1}^{\infty}:\left\{\begin{matrix} L_1=1;L_2=3 \\ L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n};\forall n \ge 1 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $x$ là số Lucas $\iff 5x^2 \pm 20$ là số chính phương.

[hxthanh]

Thuận:

Dễ dàng chứng minh
Số hạng tổng quát của dãy Lucas là

$L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$

Trong khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$

Từ đây không khó để suy ra được $L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$ hay $5L_n^2-20(-1)^n=25F_n^2$

Đây có lẽ là điều phải chứng minh

Tuy vậy phần đảo thì không biết phải làm thế nào!

[perfectstrong]

Chiều đảo là phương trình Pell thì phải
TH1: $5x^2+20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=20 \quad (1)$
Xét một bộ nghiệm tự nhiên nguyên thủy $(x_0;y_0)$ của $(1)$, ta xây dựng dãy các nghiệm tự nhiên của $(1)$ là
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 1;y_1 = 5 \\
x_{n + 1} = \frac{{y_n + 3x_n }}{2};y_{n + 1} = \frac{{3y_n + 5x_n }}{2} \\
\end{array} \right.
\]
Chỉ cần chứng minh cách xây dựng nghiệm trên quét hết các nghiệm nguyên dương của $(1)$
Tìm được công thức tổng quát của $(x_n)$ với chú ý $x_1=1;x_2=4$
\[
\begin{array}{l}
2x_{n + 1} - 3x_n = y_n \\
\Rightarrow 4x_{n + 2} - 6x_{n + 1} = 2y_{n + 1} = 3\left( {2x_{n + 1} - 3x_n } \right) + 5x_n \\
\Rightarrow x_{n + 2} - 3x_{n + 1} + x_n = 0 \\
\Rightarrow x_n = - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n \\
= - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n} \\
= \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} + \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{2n - 1} \\
= L_{2n - 1} \\
\end{array}
\]
TH2: $5x^2-20=y^2 \Leftrightarrow y^2-5x^2=-20 \quad (2)$
Cách xây dựng nghiệm tương tự, chỉ khác bộ nghiệm nguyên thủy là $x_1=3;y_1=5$
Từ đó suy ra $x_n=L_{2n}$
Vậy chiều đảo được chứng minh.

[navibol]

Định lý khác
$(L_m;L_n)=L_{(m;n)}$

[barcavodich]

Ta có $1$ bài toán đẹp dùng dãy Lucas đây

Cho dãy $ \{ a_n\} $ xác định bởi

$ a_1=3 $,$ a_2=7 $,$ a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1} $,$ n\geq 2 $

Nếu $ a_n+(-1)^n $ là số nguyên tố

CMR tồn tại $m$ tự nhiên sao cho $ n=3^m $

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 24-06-2013 - 02:25