Đề thi chọn HSG tỉnh Sơn La vòng 1 năm học 2012-2013
Ngày thi: 15/10/2012
Thời gian làm bài 180'
Câu 1: Giải bất phương trình: $\cos (\pi(x^2-10x)) - \sqrt{3}\sin(\pi(x^2-10x)) \ge 1$
Câu 2:
a, Chứng minh rằng: Nếu $\alpha, \beta, \gamma$ là các góc phẳng của một góc tam diện và $C$ là góc nhị diện với góc phẳng $\alpha$ thì $$\cos \alpha =\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos C$$
b, Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng nhau và bằng $AC'$, góc tam diện đỉnh $A$ đều. Tính số đo góc phẳng của góc tam diện đỉnh $A$ của hình hộp.
Câu 3: Không dùng phương pháp nghiệm kép, hãy viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số $y= x^4-2x^3-2x^2+\frac{5}{4}$ tại hai điểm phân biệt.
Câu 4:
Cho dãy số $\{u_n\}$ được xác định bởi: $u_1=2;\,\,\,u_{n+1}=1+\dfrac{1}{u_n}$
Gọi $p$ là số lẻ, $q$ là số chẵn bất kì, chứng minh rằng $u_p>u_q$.
Câu 5:
Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ nằm trong tam giác. Lần lượt gọi $x,y,z$ là độ cao tương ứng hạ từ $M$ xuống các cạnh $BC,AC,AB$.
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$$