Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c) $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-10-2012 - 15:08

Với mọi số thực dương a, b, c thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{ 9+16a^{2}}+\sqrt{ 9+16b^{2}}+\sqrt{ 9+16c^{2}}\ge 3+4(a+b+c)$
Middle European Mathematical Olympiad 2012 - Team Compt. T-2 Bài này bên

Mathlinks.ro họ thảo luận rất nhiều!! Mình đưa về để mọi người cùng thảo luận!! :D Rất mong nhận được lời giải mới cho bài này!!

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2012 - 15:32

Em đọc được lời giải rất thú vị của anh Cẩn sử dụng bổ đề quen thuộc:
Với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn tích của chúng bằng 1 ta đều có:
$$\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\geq 1$$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lời giải:
Bất đẳng thức đầu bài tương đương với:
\[\sum \left(\sqrt{16a^2+9}-4a\right) \ge 3,\]
Hay là
\[\sum \frac{1}{\sqrt{16a^2+9}+4a} \ge \frac{1}{3}.\]
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
\[2\left(\sqrt{16a^2+9}+4a\right) \le \left(\frac{16a^2+9}{2a+3}+2a+3\right)+8a=\frac{18(2a^2+2a+1)}{2a+3}.\]
Vậy chúng ta chỉ cần chứng minh:
\[\sum \frac{2a+3}{2a^2+2a+1} \ge 3.\]
Chúng ta sẽ chỉ ra $\forall x\in R^{+}$ ta luôn có:
\[\frac{2x+3}{2x^2+2x+1} \ge \frac{3}{x^{\frac{8}{5}}+x^{\frac{4}{5}}+1}.\quad (1)\]
Điều này tương đương:
\[2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+3x^{\frac{8}{5}}+2x+3x^{\frac{4}{5}}+3 \ge 6x^2+6x+3\]
\[\Leftrightarrow 2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+3x^{\frac{8}{5}}+3x^{\frac{4}{5}} \ge 6x^2+4x.\]
Nhưng the0 $AM-GM$ ta có:
\[2x^{\frac{13}{5}}+2x^{\frac{9}{5}}+2x^{\frac{8}{5}} \ge 6\sqrt[3]{x^{\frac{13}{5}+\frac{9}{5}+\frac{8}{5}}}=6x^2\]
Và:
\[x^{\frac{8}{5}}+3x^{\frac{4}{5}} \ge 4\sqrt[4]{x^{\frac{8}{5}+3\cdot \frac{4}{5}}}=4x.\]
Vì vậy bất đẳng thức cuối cùng đúng hay (1) đúng.
Sử dụng (1),ta chỉ cần chứng minh:
\[\sum \frac{1}{a^{\frac{8}{5}}+a^{\frac{4}{5}}+1} \ge 1.\]
Và đây chính là bổ đề ở trên,chúng ta có điều phải chứng minh :)
---------------------------------------
P/s:Không phải tình cờ mà anh Cẩn tìm ra được bất đẳng thức phụ (1).Với những bài toán như thế này,chúng ta sẽ thiết 1 bất đẳng thức phụ dạng:
\[\frac{2x+3}{2x^2+2x+1} \ge \frac{a}{x^{2k}+x^{k}+1}\]
Đầu tiên ta ch0 $x=1$ và 2 vế bằng nhau để tìm $a$.Còn tìm $k$ ta sẽ đạo hàm 2 vế,ch0 $x=1$ và giải phương trình.Công việc còn lại là kiểm tra tính đúng sai của bất đẳng thức :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-10-2012 - 15:40

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh