Chủ đề này có 2 trả lời

[dung_nguyentien10]

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$

[chanhquocnghiem]

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$

Xét hàm số $D(x)=sin^5x+\sqrt{3}cosx$

Vì hàm $y_{1}=sin^5x$ và hàm $y_{2}=\sqrt{3}cosx$ đều liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên hàm $D(x)=y_{1}+y_{2}$ cũng liên tục và tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi$.Do đó chỉ cần xét trên đoạn $\left [ -\pi ;\pi \right ]$

$D'(x)=5sin^4xcosx-\sqrt{3}sinx=sinx(5sin^3xcosx-\sqrt{3})$

$D'(x)=0\Leftrightarrow sinx=0$ (1) hoặc $5sin^3xcosx=\sqrt{3}$ (2)

(1) $\Leftrightarrow x=-\pi$ ; $x=0$ ; $x=\pi$

Dễ thấy $x=k\pi$ không phải là nghiệm của (2) nên có thể chia 2 vế của (2) cho $tanx$

(2) $\Leftrightarrow 5sin^2xcos^2x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}\Leftrightarrow \frac{5}{4}sin^22x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}$

Đặt $t=tanx$ ($t> 0$ vì $sin^3xcosx> 0$) $\Rightarrow sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$

(2) $\Leftrightarrow \frac{5}{4}\left ( \frac{2t}{1+t^2} \right )^2=\frac{\sqrt{3}}{t}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5}\frac{t}{1+t^2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{t}}$ (vì $t> 0$)

$\Leftrightarrow \frac{1+t^2}{t\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ (3)

Xét hàm $f(t)=\frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ ($f(t)$ liên tục trên khoảng này)

$f'(t)=0\Leftrightarrow t-\frac{3}{t}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}$

$\Rightarrow f(t)$ đạt cực tiểu khi $t=\sqrt{3}$ và GTNN của $f(t)$ là $f_{min}=\frac{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}$

Dễ thấy $f_{min}> \frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ $\Rightarrow$ (3) vô nghiệm $\Rightarrow$ (2) vô nghiệm.

Vậy trên $\left [ -\pi ;\pi \right ]$, $D(x)$ chỉ đạt cực trị khi $x=k\pi$ ($k\in \left \{ -1;0;1 \right \}$)

$D(-\pi )=D(\pi )=-\sqrt{3};D(0)=\sqrt{3}$ suy ra trên $[-\pi;\pi]$, $D(x)$ đạt GTNN là $-\sqrt{3}$ và GTLN là $\sqrt{3}$

Và trên toàn tập xác định :

GTLN $D_{max}=\sqrt{3}$ khi $x=2m\pi$

GTNN $D_{min}=-\sqrt{3}$ khi $x=(2m+1)\pi$

($m\in \mathbb{Z}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-12-2013 - 07:01

[Nguyễn Hoàng Hảo]

$13\sqrt{2x^{2} - x^{4}} + 9 \sqrt{2x^{2}+x^{4}}=32$