Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm min, max $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dung_nguyentien10

dung_nguyentien10

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 15-11-2005 - 09:34

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-12-2013 - 11:34



Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$

Xét hàm số $D(x)=sin^5x+\sqrt{3}cosx$

Vì hàm $y_{1}=sin^5x$ và hàm $y_{2}=\sqrt{3}cosx$ đều liên tục và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên hàm $D(x)=y_{1}+y_{2}$ cũng liên tục và tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi$.Do đó chỉ cần xét trên đoạn $\left [ -\pi ;\pi \right ]$

$D'(x)=5sin^4xcosx-\sqrt{3}sinx=sinx(5sin^3xcosx-\sqrt{3})$

$D'(x)=0\Leftrightarrow sinx=0$ (1) hoặc $5sin^3xcosx=\sqrt{3}$ (2)

(1) $\Leftrightarrow x=-\pi$ ; $x=0$ ; $x=\pi$

Dễ thấy $x=k\pi$ không phải là nghiệm của (2) nên có thể chia 2 vế của (2) cho $tanx$

(2) $\Leftrightarrow 5sin^2xcos^2x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}\Leftrightarrow \frac{5}{4}sin^22x=\frac{\sqrt{3}}{tanx}$

Đặt $t=tanx$ ($t> 0$ vì $sin^3xcosx> 0$) $\Rightarrow sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$

(2) $\Leftrightarrow \frac{5}{4}\left ( \frac{2t}{1+t^2} \right )^2=\frac{\sqrt{3}}{t}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5}\frac{t}{1+t^2}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{t}}$ (vì $t> 0$)

$\Leftrightarrow \frac{1+t^2}{t\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ (3)

Xét hàm $f(t)=\frac{t+\frac{1}{t}}{\sqrt{t}}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ ($f(t)$ liên tục trên khoảng này)

$f'(t)=0\Leftrightarrow t-\frac{3}{t}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}$

$\Rightarrow f(t)$ đạt cực tiểu khi $t=\sqrt{3}$ và GTNN của $f(t)$ là $f_{min}=\frac{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}$

Dễ thấy $f_{min}> \frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}$ $\Rightarrow$ (3) vô nghiệm $\Rightarrow$ (2) vô nghiệm.

Vậy trên $\left [ -\pi ;\pi \right ]$, $D(x)$ chỉ đạt cực trị khi $x=k\pi$ ($k\in \left \{ -1;0;1 \right \}$)

$D(-\pi )=D(\pi )=-\sqrt{3};D(0)=\sqrt{3}$ suy ra trên $[-\pi;\pi]$, $D(x)$ đạt GTNN là $-\sqrt{3}$ và GTLN là $\sqrt{3}$

Và trên toàn tập xác định :

GTLN $D_{max}=\sqrt{3}$ khi $x=2m\pi$

GTNN $D_{min}=-\sqrt{3}$ khi $x=(2m+1)\pi$

($m\in \mathbb{Z}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-12-2013 - 07:01

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Nguyễn Hoàng Hảo

Nguyễn Hoàng Hảo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 17-12-2013 - 11:49

$13\sqrt{2x^{2} - x^{4}} + 9 \sqrt{2x^{2}+x^{4}}=32$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh