Cho a,b > 0.Chứng minh
$a^{3}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geqslant a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}$
$a^{3}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geqslant a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}$
Bắt đầu bởi rongtuongduong91, 17-10-2012 - 21:15
#2
Đã gửi 17-10-2012 - 21:24
sogenlun
-
- Thành viên
-
- 105 Bài viết
Trung sĩ
Bài toán tổng quát :
Với $x,y,z > 0 , xyz = 1$ thì $\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3} \ge \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
Chứng minh :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$$ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \ge 3$$
$$ \dfrac{x^3}{y^3}+1+1 \ge 3\dfrac{x}{y}$$
$$ \dfrac{y^3}{z^3}+1+1 \ge 3\dfrac{y}{z}$$
$$ \dfrac{z^3}{x^3}+1+1 \ge 3\dfrac{z}{x}$$
Cộng vế 3 các BĐT trên có :
$$ \dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3} \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})-6 \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})-2(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$$
Suy ra dpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Áp dụng vào bài này với $x=a , y =1, z=b$ là xong.
Với $x,y,z > 0 , xyz = 1$ thì $\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3} \ge \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
Chứng minh :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$$ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \ge 3$$
$$ \dfrac{x^3}{y^3}+1+1 \ge 3\dfrac{x}{y}$$
$$ \dfrac{y^3}{z^3}+1+1 \ge 3\dfrac{y}{z}$$
$$ \dfrac{z^3}{x^3}+1+1 \ge 3\dfrac{z}{x}$$
Cộng vế 3 các BĐT trên có :
$$ \dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3} \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})-6 \ge 3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})-2(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$$
Suy ra dpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Áp dụng vào bài này với $x=a , y =1, z=b$ là xong.
- Mai Duc Khai, WhjteShadow, ckuoj1 và 3 người khác yêu thích
Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
