Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR: $\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc < 2 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 tuannd2009

tuannd2009

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 18-10-2012 - 20:28

Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR:
$\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc < 2 $

#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 19-10-2012 - 22:17

Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên dễ dàng suy ra được a,b,c < 1
Từ đó ta có (1-a)(1-b)(1-c)>0
Suy ra: $1-\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ac-abc> 0$
$\Rightarrow 2\left ( ab+bc+ac \right )> 2+abc$
$\Rightarrow 2\left ( ab+bc+ac \right )+a^2+b^2+c^2> a^2+b^2+c^2+2abc+2$
Suy ra ĐCCM?
Còn chiều lớn hơn thì không nhầm là đưa về hàm số bậc nhất rồi xét tính đơn điệu của nó?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quỳnh Lưu, Nghệ An

Đã gửi 20-10-2012 - 08:02

Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên dễ dàng suy ra được a,b,c < 1

giải thích rõ đi

#4 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 20-10-2012 - 10:44

Cái này đơn giản mà bạn
Do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên $a< b+c\Rightarrow 2a< a+b+c=2\Rightarrow a< 1$
Tương tự cho b và c?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5 sogenlun

sogenlun

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-10-2012 - 13:13

Nốt vế còn lại .
Bằng đổi biến $p,q,r$.
Ta có $p=2$. BĐT cần chứng minh là :
$$p^2-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow 4-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
Mà theo $Schur$ thì $r \ge \dfrac{4pq-p^3}{9} = \dfrac{8q-8}{9}$
Ta đưa về chứng minh BĐT mạnh hơn :
$$ 4-2q+2. \dfrac{8p-8}{9} \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow q \le \dfrac{4}{3}$$
Thì điều này hiển nhiên đúng do $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$
BĐT được chứng minh. :)

Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


#6 sogenlun

sogenlun

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-10-2012 - 18:54

Ngoài ra ta có thể xài $\text{Look at the end point}$ :
BĐT tương đương với :
$$ 2bc(a-1) + (b+c)^2+a^2 \ge \dfrac{52}{27}$$
$$\Leftrightarrow 2bc(a-1)+2a^2-4a+\dfrac{56}{27} \ge 0$$
Hiển nhiên với $bc = 0$ thì $VT >0$
Với $bc=\dfrac{(2-a)^2}{4} $ thì $$VT = (a-1)\dfrac{(a-2)^2}{2}+2a^2-4a+\dfrac{56}{27}$$
Có $VT \ge 0 \Leftrightarrow (a+\dfrac{1}{3})(a-\dfrac{2}{3})^2 \ge 0 ( true )$
Đẳng thức xảy ra khi $\begin{cases} a=\dfrac{2}{3} \\ b=c \\ a+b+c=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}$
Vậy BĐT được chứng minh. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 20-10-2012 - 18:56

Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


#7 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 03-03-2013 - 10:11

Tại sao bc=$\frac{(2-a)^{2}}{4}$

Hình như chỗ ấy là $bc \ge \dfrac{(2-a)^2}{4}$ đó :P

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#8 sogenlun

sogenlun

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-03-2013 - 14:14

Hình như chỗ ấy là $bc \ge \dfrac{(2-a)^2}{4}$ đó :P


mà bc $\leq \frac{(b+c)^{2}}{4}$

Dùng tính chất hàm bậc nhất đó bạn, ở đây mình sẽ xét biến $bc$ trên $(0,\dfrac{(2-a)^2}{4}]$ :)
Khi đó xét $f(0) , f(\dfrac{(2-a)^2}{4}])$ để đánh giá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 03-03-2013 - 14:16

Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


#9 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 07-03-2013 - 01:12

Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR:
$\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc < 2 $

Mình xin giới thiệu 1 cách làm mới, mình rất hay làm đối với dạng bài này, tuy hơi chày cối tí
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq b\geq c> 0$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a=\frac{2}{3}+x\\b=\frac{2}{3} -y

\end{matrix}\right.\Rightarrow z=\frac{2}{3}+y-x$
Do $a+b>c$ $\Rightarrow \frac{2}{3}+x+\frac{2}{3}-y> \frac{2}{3}+y-x\Rightarrow y-x< \frac{1}{3}$
và $\frac{2}{3}\leq a< 1\Rightarrow 0\leq x< \frac{1}{3}$
Ta có $a^2+b^2+c^2+2abc=(\frac{2}{3}+x)^2+(\frac{2}{3}-y)^2+(\frac{2}{3}+y-x)^2+2(\frac{2}{3}+x)(\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y-x)\geq \frac{52}{27}$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-xy-3xy(y-x) \geq 0$
+) Nếu $x \geq y\Rightarrow x^2+y^2-xy-3xy(y-x) \geq x^2+y^2-xy \geq 0$
Suy ra đpcm
+) Nếu $x \leq y$
Ta có $y-x \leq \frac{1}{3}$
$x \geq y\Rightarrow x^2+y^2-xy-3xy(y-x) \geq x^2+y^2-xy-xy=(x-y)^2 \geq 0$
Suy ra đpcm
Vậy ta có bài toán được chứng minh xong
Dấu = xảy ra khi $x=y=0$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#10 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 07-03-2013 - 01:15

1 bài toán tương tự
Bài toán : Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác có chu vi là $1$
Tìm Min của $a^3+b^3+c^3+3abc$
P/S : Tất nhiên cách trên mình sẽ nghĩ đến cuối cùng vì mất rất nhiều thời gian :namtay :namtay :namtay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 07-03-2013 - 01:15

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#11 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 25-04-2015 - 21:50

Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR:
$\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc < 2 $

Mình có 1 cách này khá ngắn gọn, phù hợp với kiến thức cấp 2, dễ hiểu nữa  :mellow:  :lol:

Mọi người cũng đã chứng minh $a,b,c<1$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $(1-a)(1-b)(1-c)\leq \left [ \frac{3-(a+b+c)}{3}\right ]^3=\frac{1}{27}$

Ta có $0<(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{27}$

          $\Leftrightarrow 1<ab+bc+ca-abc\leq \frac{28}{27}$

          $\Leftrightarrow 2<(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2+2abc)\leq \frac{56}{27}$

          $\Leftrightarrow 2<4-(a^2+b^2+c^2+2abc)\leq \frac{56}{27}$

          $\Leftrightarrow \frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc<2$   :like


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#12 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 25-04-2015 - 21:57

Mình xin đóng góp 1 bài 

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh

                    $3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$

 

 


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#13 Nguyen Thi Thuy Nhung

Nguyen Thi Thuy Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 08-05-2015 - 23:05

Mình xin đóng góp 1 bài 

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh

                    $3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$

 

Ta có: $3-2a=a+b+c-2a=b+c-a >0$. Tương tự, ta có: $3-2b>0, 3-2c>0$

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq (\dfrac{3-2a+3-2b+3-2c}{3})^3=1$

$\Leftrightarrow 27-9(2a+2b+2c)+12(ab+bc+ac)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 27-54+12(ab+bc+ca)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 4abc \geq 6(ab+bc+ca)-14$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 3(a+b+c)^2 -14=13$

Đắng thức xảy ra khi $a=b=c=1$



#14 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 09-05-2015 - 09:47

Mình xin đóng góp 1 bài 

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh

                    $3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$

Mở rộng. Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $3(a^2+b^2+c^2)+4abc$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#15 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 09-05-2015 - 17:45

Mở rộng. Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

+) Ta có $P=3(a^2+b^2+c^2)+4abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=\sum a^3+\sum a(b^2+c^2)+4abc$

Xét $27=(a+b+c)^3=\sum a^3+3\sum a(b^2+c^2)+6abc=P+2\sum a(b^2+c^2)+2abc$

$\Rightarrow P\leqslant 27$

Đẳng thức xảy ra khi $\sum a(b^2+c^2) +abc=0$

    $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,3)$ và hoán vị

+) Ta có $P=3\left [ 9-2(ab+bc+ca) \right ]+4abc$

Áp dụng BĐT Schur bậc $3$ ta có $4abc\geqslant \frac{4\left [ 4(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^3 \right ]}{9}=$

Đặt $ab+bc+ca=t \leqslant 3$ ta có 

             $P\geqslant 27-6t+\frac{4(12t-27)}{9}=15-\frac{2t}{3}\geqslant 13$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#16 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-08-2015 - 15:30

Bài đầu tiên làm cách này được không mọi người?

Ta áp dụng định lý sau: 
"Ba cạnh a, b,c của một tam giác bất kỳ là nghiệm của phương trình bậc 3 ẩn t sau: 
t³ – 2pt² + ( p² + r² + 4Rr)t - 4pRr = 0" 
Do đó theo định lý Vi-ét: 
          a + b + c = 2p 
          ab + bc + ca = p² + r² + 4Rr 
          abc = 4pRr 

Áp dụng vào bài toán ta có: 
a² + b² + c² +2abc  = (a + b +c)² – 2(ab +bc +ca) +2abc 
                            = 4p² – 2(p²+r²+4Rr) +2.4pRr 
                            = 2p² – 2r² – 8Rr + 8pRr 
                            = 2 – 2r² – 8Rr +8Rr ( vì p = 1 ) 
                            = 2 – 2r² 
                            = 2(1- r²) < 2 (vì r² > 0 => - r² < 0 => 1 - r² < 1) (đpcm) 

***************************************... 

Sau đây là cách chứng minh định lý trên: 

Ta có: 
2cos²(A/2) – 1 = CosA = (b² + c² - a²) / 2bc 
=> 2cos²(A/2) = (b² + c² - a²) / 2bc + 1 
                     = (b² + c² - a² + 2bc) / 2bc 
                     = (b + c - a) (b + c + a) / 2bc 
=> cos²(A/2) = (b + c - a) (b + c + a) / 4bc 
                   = p(p - a) / bc 
                   = p(p - a)a / 4pRr (do S = pr = abc / 4R) 
=> cos²(A/2) = (p - a)a / 4Rr (*) 

Ta lại có: 
2sin(A/2)cos(A/2) = sinA = a / 2R 
<=> sin(A/2) = a / 4Rcos(A/2) 
<=> sin²(A/2) = a² / 16R²cos²(A/2) = ar / 4R(p- a) (do (*)) 

Cuối cùng: 1 = sin²(A/2) + cos²(A/2) = [ar / 4R(p- a)] + [(p - a)a / 4Rr] 
Sau khi quy đồng và khử mẫu ta được: a³ – 2pa² + ( p² + r² + 4Rr)a - 4pRr = 0 
Vậy a là một nghiệm của pt bậc 3 ẩn t ở trên. 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có b và c là nghiệm của pt bậc 3 ẩn t ở trên. 
Như vậy định lý đã được chứng minh xong.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 14-08-2015 - 15:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh