Cho a,b,c>0 CMR:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
Started By minhson95, 19-10-2012 - 12:48
#1
Posted 19-10-2012 - 12:48
- zookiiiiaa and BoFaKe like this
#2
Posted 19-10-2012 - 12:52
Theo cô si :Cho a,b,c>0 CMR:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}} \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
- minhson95, zookiiiiaa, WhjteShadow and 2 others like this
#3
Posted 19-10-2012 - 22:47
Theo cô si :
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}} \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.
- minhson95 likes this
#4
Posted 19-10-2012 - 23:01
Mình làm thế này không biết có đúng không
Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa cho abc=1,như thế bất đẳng thức đã cho trở thành
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+(a+b+c)^2\geq 4\sqrt{3\left ( a+b+c \right )}$
Do $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3$ nên ta sẽ chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^2+3\geq 4\sqrt{3(a+b+c)}$
Áp dụng AM-GM ta có: $(a+b+c)^2+3=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+3\geq 4\sqrt[4]{\frac{\left ( a+b+c \right )^6}{4}}\geq 4\sqrt{3(a+b+c)}$
$\Rightarrow$ Q.e.D?
Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa cho abc=1,như thế bất đẳng thức đã cho trở thành
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+(a+b+c)^2\geq 4\sqrt{3\left ( a+b+c \right )}$
Do $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3$ nên ta sẽ chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^2+3\geq 4\sqrt{3(a+b+c)}$
Áp dụng AM-GM ta có: $(a+b+c)^2+3=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+3\geq 4\sqrt[4]{\frac{\left ( a+b+c \right )^6}{4}}\geq 4\sqrt{3(a+b+c)}$
$\Rightarrow$ Q.e.D?
- zookiiiiaa likes this
#5
Posted 20-10-2012 - 12:54
Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.
Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.
Giải thích chi tiết về lời giải của Ke Vo Tinh như sau:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2=\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3} \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}}$
$ \geq 4\sqrt[4]{\frac{3\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^4}.(3\sqrt[3]{abc})^4.(a+b+c)^2}{27}}=4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
$Q.E.D$
Edited by minhson95, 20-10-2012 - 12:56.
- zookiiiiaa likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users